Номер 24.15, страница 115 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.15. Найдите область определения выражения:

a) $\sqrt{\frac{x-3}{4}} + 2 + \sqrt{9-2x};$

б) $\sqrt{7-\frac{x}{5}} - \sqrt{\frac{3x+7}{4}}.$

а)

Область определения выражения — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. Данное выражение содержит два квадратных корня, поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x-3}{4} \ge 0 \\ 9 - 2x \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$\frac{x-3}{4} \ge 0$

Так как знаменатель $4$ является положительным числом, то знак дроби зависит только от знака числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему:

$x-3 \ge 0$

$x \ge 3$

2. Решаем второе неравенство:

$9 - 2x \ge 0$

Перенесем $2x$ в правую часть неравенства:

$9 \ge 2x$

Разделим обе части на $2$:

$4.5 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 4.5$.

Областью определения всего выражения будет пересечение решений обоих неравенств, то есть множество значений $x$, которые удовлетворяют и условию $x \ge 3$, и условию $x \le 4.5$.

Таким образом, $3 \le x \le 4.5$. В виде промежутка это записывается как $[3; 4.5]$.

Ответ: $x \in [3; 4.5]$.

б)

Аналогично пункту а), область определения выражения задается системой неравенств, в которой каждое подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$$ \begin{cases} 7 - \frac{x}{5} \ge 0 \\ \frac{3x+7}{4} \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы.

1. Решаем первое неравенство:

$7 - \frac{x}{5} \ge 0$

Перенесем $\frac{x}{5}$ в правую часть:

$7 \ge \frac{x}{5}$

Умножим обе части на $5$ (знак неравенства не меняется, так как $5 > 0$):

$35 \ge x$, или $x \le 35$.

2. Решаем второе неравенство:

$\frac{3x+7}{4} \ge 0$

Знаменатель $4$ положителен, поэтому неравенство равносильно неравенству для числителя:

$3x + 7 \ge 0$

Перенесем $7$ в правую часть:

$3x \ge -7$

Разделим обе части на $3$:

$x \ge -\frac{7}{3}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le 35$ и $x \ge -\frac{7}{3}$.

Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $-\frac{7}{3} \le x \le 35$. В виде промежутка это записывается как $[-\frac{7}{3}; 35]$.

Ответ: $x \in [-\frac{7}{3}; 35]$.