Номер 24.30, страница 118 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.30. Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-4 < \frac{18 - 4x}{5} - 2 \le 30$.

Для решения двойного неравенства необходимо выполнить равносильные преобразования, применяя их ко всем трем частям неравенства одновременно.

Исходное неравенство:

$ -4 < \frac{18 - 4x}{5} - 2 \le 30 $

1. Первым шагом избавимся от слагаемого $-2$ в средней части. Для этого прибавим $2$ ко всем частям неравенства:

$ -4 + 2 < \frac{18 - 4x}{5} - 2 + 2 \le 30 + 2 $

Выполнив сложение, получаем:

$ -2 < \frac{18 - 4x}{5} \le 32 $

2. Теперь избавимся от знаменателя $5$ в средней части. Для этого умножим все части неравенства на $5$. Так как $5 > 0$, знаки неравенства сохраняются:

$ -2 \cdot 5 < (\frac{18 - 4x}{5}) \cdot 5 \le 32 \cdot 5 $

Выполнив умножение, получаем:

$ -10 < 18 - 4x \le 160 $

3. Далее избавимся от слагаемого $18$ в средней части. Для этого вычтем $18$ из всех частей неравенства:

$ -10 - 18 < 18 - 4x - 18 \le 160 - 18 $

Выполнив вычитание, получаем:

$ -28 < -4x \le 142 $

4. На последнем шаге разделим все части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $-4$. Важно помнить, что при делении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные ($<$ на $>$, $\le$ на $\ge$):

$ \frac{-28}{-4} > \frac{-4x}{-4} \ge \frac{142}{-4} $

Выполнив деление, получаем:

$ 7 > x \ge -35.5 $

Для удобства запишем полученное двойное неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$ -35.5 \le x < 7 $

Теперь, согласно условию задачи, нам нужно найти наименьшее и наибольшее целые решения этого неравенства.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x \ge -35.5$, это $-35$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x < 7$, это $6$.

Найдем сумму найденных наименьшего и наибольшего целых решений:

$ -35 + 6 = -29 $

Ответ: -29