Номер 24.36, страница 119 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.36*. При каких значениях $a$ система неравенств $ \begin{cases} -10x + 1 < -9, \\ 1 + 2x < a + x \end{cases} $ не имеет решений?

Для того чтобы система неравенств не имела решений, необходимо, чтобы множества решений каждого из неравенств не пересекались.

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$-10x + 1 < -9$

Перенесем 1 в правую часть:

$-10x < -9 - 1$

$-10x < -10$

Разделим обе части на -10. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:

$x > \frac{-10}{-10}$

$x > 1$

Решением первого неравенства является интервал $(1; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство относительно $x$:

$1 + 2x < a + x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а остальные слагаемые в правую:

$2x - x < a - 1$

$x < a - 1$

Решением второго неравенства является интервал $(-\infty; a-1)$.

Система неравенств не будет иметь решений, если пересечение этих двух интервалов, $(1; +\infty)$ и $(-\infty; a-1)$, пусто. На числовой прямой это означает, что правая граница второго интервала, $a-1$, должна быть меньше или равна левой границе первого интервала, 1.

Таким образом, должно выполняться условие:

$a - 1 \leq 1$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a \leq 1 + 1$

$a \leq 2$

Следовательно, система неравенств не имеет решений при $a \leq 2$.

Ответ: $a \leq 2$.