Номер 24.6, страница 113 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.6. Решите систему неравенств, используя алгоритм:

а) $ \begin{cases} 5x \ge -5, \\ -3x < 12; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3,5x > -7, \\ -0,5x \ge -1; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 1,25x \le 2,5, \\ -4x > -20; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \frac{1}{9}x < 3, \\ -5x \ge -35; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} 1,5x > -15, \\ -x > -3; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} \frac{2x}{3} \le -6, \\ -x < -10. \end{cases} $

а)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x \ge -5, \\ -3x < 12. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $5x \ge -5$. Разделим обе части на 5 (положительное число), при этом знак неравенства сохраняется: $x \ge \frac{-5}{5}$, откуда $x \ge -1$.
2. Решаем второе неравенство: $-3x < 12$. Разделим обе части на -3 (отрицательное число), при этом знак неравенства меняется на противоположный: $x > \frac{12}{-3}$, откуда $x > -4$.
3. Найдем пересечение множеств решений $x \ge -1$ и $x > -4$. Общим решением является промежуток, удовлетворяющий обоим условиям одновременно. На числовой прямой это интервал, который начинается с -1 (включительно) и уходит вправо. Таким образом, $x \ge -1$.
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

б)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3,5x > -7, \\ -0,5x \ge -1. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $3,5x > -7$. Разделим обе части на 3,5: $x > \frac{-7}{3,5}$, откуда $x > -2$.
2. Решаем второе неравенство: $-0,5x \ge -1$. Разделим обе части на -0,5, меняя знак неравенства на противоположный: $x \le \frac{-1}{-0,5}$, откуда $x \le 2$.
3. Найдем пересечение множеств решений $x > -2$ и $x \le 2$. Общим решением является интервал, в котором $x$ строго больше -2 и меньше или равен 2.
Ответ: $x \in (-2; 2]$.

в)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 1,25x \le 2,5, \\ -4x > -20. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $1,25x \le 2,5$. Разделим обе части на 1,25: $x \le \frac{2,5}{1,25}$, откуда $x \le 2$.
2. Решаем второе неравенство: $-4x > -20$. Разделим обе части на -4, меняя знак неравенства на противоположный: $x < \frac{-20}{-4}$, откуда $x < 5$.
3. Найдем пересечение множеств решений $x \le 2$ и $x < 5$. Множество чисел, которые меньше или равны 2, полностью содержится в множестве чисел, которые меньше 5. Следовательно, их пересечением является $x \le 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

г)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{1}{9}x < 3, \\ -5x \ge -35. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $\frac{1}{9}x < 3$. Умножим обе части на 9: $x < 3 \cdot 9$, откуда $x < 27$.
2. Решаем второе неравенство: $-5x \ge -35$. Разделим обе части на -5, меняя знак неравенства на противоположный: $x \le \frac{-35}{-5}$, откуда $x \le 7$.
3. Найдем пересечение множеств решений $x < 27$ и $x \le 7$. Множество чисел, которые меньше или равны 7, полностью содержится в множестве чисел, которые меньше 27. Следовательно, их пересечением является $x \le 7$.
Ответ: $x \in (-\infty; 7]$.

д)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 1,5x > -15, \\ -x > -3. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $1,5x > -15$. Разделим обе части на 1,5: $x > \frac{-15}{1,5}$, откуда $x > -10$.
2. Решаем второе неравенство: $-x > -3$. Умножим обе части на -1, меняя знак неравенства на противоположный: $x < 3$.
3. Найдем пересечение множеств решений $x > -10$ и $x < 3$. Общим решением является интервал от -10 до 3, не включая концы.
Ответ: $x \in (-10; 3)$.

е)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{2x}{3} \le -6, \\ -x < -10. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $\frac{2x}{3} \le -6$. Умножим обе части на 3: $2x \le -18$. Затем разделим на 2: $x \le -9$.
2. Решаем второе неравенство: $-x < -10$. Умножим обе части на -1, меняя знак неравенства на противоположный: $x > 10$.
3. Найдем пересечение множеств решений $x \le -9$ и $x > 10$. Не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -9 и больше 10. Таким образом, множества решений не пересекаются.
Ответ: нет решений.