Номер 1.3, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.3. Сравните значения выражений $a^3$ и $a^2$, зная,

а) $a$ — правильная дробь;

б) $a$ — отрицательное число;

в) $a=0$.

Для сравнения значений выражений $a^3$ и $a^2$ рассмотрим их разность: $a^3 - a^2$. Вынесем общий множитель за скобки: $a^2(a - 1)$. Знак этой разности определит, какое из выражений больше.

а) a – правильная дробь

Если a – правильная дробь, то её значение находится в интервале $0 < a < 1$.

• Множитель $a^2$ будет положительным, так как квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен.
• Множитель $(a - 1)$ будет отрицательным, так как из числа, меньшего 1, вычитается 1.

Произведение положительного и отрицательного числа есть число отрицательное.Следовательно, $a^2(a - 1) < 0$, что означает $a^3 - a^2 < 0$.Отсюда получаем, что $a^3 < a^2$.
Например, если $a = \frac{1}{2}$, то $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ и $a^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Сравнивая $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{4}$, получаем $\frac{1}{8} < \frac{2}{8}$, то есть $a^3 < a^2$.
Ответ: $a^3 < a^2$

б) a – отрицательное число

Если a – отрицательное число, то $a < 0$.

• Значение $a^2$ будет положительным (квадрат отрицательного числа).
• Значение $a^3$ будет отрицательным (куб отрицательного числа).

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $a^2 > a^3$.
Например, если $a = -2$, то $a^2 = (-2)^2 = 4$ и $a^3 = (-2)^3 = -8$. Очевидно, что $4 > -8$, то есть $a^2 > a^3$.
Ответ: $a^3 < a^2$

в) a = 0

Если a = 0, то подставим это значение в оба выражения:

• $a^2 = 0^2 = 0$
• $a^3 = 0^3 = 0$

Значения выражений равны.
Ответ: $a^3 = a^2$