Номер 2.286, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.286. Упростите выражение и найдите его значение:

a) $(3a+b)^2+(3a-b)^2$ при $a=0,1$; $b=7$;

б) $(5a^2+b)^2-(5a^2-b)^2$ при $a=0,5$; $b=24$.

а) $(3a + b)^2 + (3a - b)^2$ при $a = 0,1; b = 7$

Сначала упростим данное выражение. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(3a + b)^2 + (3a - b)^2 = ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot b + b^2) + ((3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9a^2 + 6ab + b^2 + 9a^2 - 6ab + b^2 = (9a^2 + 9a^2) + (6ab - 6ab) + (b^2 + b^2) = 18a^2 + 2b^2$

Теперь подставим заданные значения $a = 0,1$ и $b = 7$ в упрощенное выражение:

$18a^2 + 2b^2 = 18 \cdot (0,1)^2 + 2 \cdot 7^2 = 18 \cdot 0,01 + 2 \cdot 49 = 0,18 + 98 = 98,18$

Представим полученное число в виде смешанной дроби, чтобы выделить целую часть:

$98,18 = 98\frac{18}{100} = 98\frac{9}{50}$

Ответ: 98$\frac{9}{50}$

б) $(5a^2 + b)^2 - (5a^2 - b)^2$ при $a = 0,5; b = 24$

Упростим выражение, используя формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = 5a^2 + b$ и $y = 5a^2 - b$.

$(5a^2 + b)^2 - (5a^2 - b)^2 = ((5a^2 + b) - (5a^2 - b)) \cdot ((5a^2 + b) + (5a^2 - b))$

Раскроем внутренние скобки:

$(5a^2 + b - 5a^2 + b) \cdot (5a^2 + b + 5a^2 - b) = (2b) \cdot (10a^2) = 20a^2b$

Теперь подставим заданные значения $a = 0,5$ и $b = 24$ в упрощенное выражение:

$20a^2b = 20 \cdot (0,5)^2 \cdot 24 = 20 \cdot 0,25 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120$

Результат является целым числом.

Ответ: 120