Номер 2.288, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.288. Докажите, что значение выражения $(5a-1)^2 - (4a+1)^2 - 9a(a-2) + 4$ не зависит от значения переменной.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, необходимо это выражение упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную $a$, сократятся, то это будет означать, что значение выражения является постоянным числом и не зависит от $a$.

Упростим данное выражение по шагам:

$(5a-1)^2 - (4a+1)^2 - 9a(a-2) + 4$

1. Раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(5a-1)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 1 + 1^2 = 25a^2 - 10a + 1$

2. Раскроем вторую скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(4a+1)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = 16a^2 + 8a + 1$

3. Раскроем третью часть выражения, умножив $-9a$ на многочлен в скобках:

$-9a(a-2) = -9a \cdot a - 9a \cdot (-2) = -9a^2 + 18a$

4. Теперь подставим все раскрытые части обратно в исходное выражение:

$(25a^2 - 10a + 1) - (16a^2 + 8a + 1) + (-9a^2 + 18a) + 4$

Уберем скобки, меняя знаки там, где перед скобкой стоит минус:

$25a^2 - 10a + 1 - 16a^2 - 8a - 1 - 9a^2 + 18a + 4$

5. Приведем подобные слагаемые. Сначала сгруппируем члены с $a^2$, затем с $a$, и в конце — свободные члены:

$(25a^2 - 16a^2 - 9a^2) + (-10a - 8a + 18a) + (1 - 1 + 4)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(25 - 16 - 9)a^2 = (9 - 9)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0$

$(-10 - 8 + 18)a = (-18 + 18)a = 0 \cdot a = 0$

$1 - 1 + 4 = 4$

6. Сложим полученные результаты:

$0 + 0 + 4 = 4$

В результате упрощения исходного выражения мы получили число 4. Это значение является константой и не содержит переменной $a$. Следовательно, значение выражения не зависит от значения переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: 4.