Номер 2.291, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.291. Вместо знаков * подберите одночлены так чтобы выполнялось равенство:

а) $* + 2mn + m^2 = (n + *)^2;$

б) $4x^2 - 4xy + * = (* - *)^2;$

в) $* + 12ab + 9b^2 = (* + 3b)^2.$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) * + 2mn + m² = (n + *)²

Правая часть равенства представляет собой квадрат суммы $(n + *)^2$. Согласно формуле, $(n + *)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot (*) + (*)^2$.

Сравним полученное выражение с левой частью исходного равенства: $* + 2mn + m²$.

Приравнивая соответствующие члены, получаем:

• Удвоенное произведение: $2mn = 2 \cdot n \cdot (*)$. Отсюда следует, что второй одночлен в скобках (*) равен $m$.
• Квадрат второго члена: $m^2 = (*)^2$. Подставляя $m$, получаем $m^2 = m^2$, что верно.
• Первый член в левой части (*) должен быть равен квадрату первого члена из скобок, то есть $n^2$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид: $n^2 + 2mn + m² = (n + m)^2$.

Ответ: Первый знак * — это $n^2$, второй знак * — это $m$.

б) 4x² - 4xy + * = (* - *)²

Левая часть равенства $4x² - 4xy + *$ является разложением квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2$.

Определим члены $a$ и $b$:

• Первый член $a^2$ равен $4x²$. Следовательно, $a = \sqrt{4x^2} = 2x$.
• Удвоенное произведение $-2ab$ равно $-4xy$. Подставим найденное значение $a = 2x$: $-2(2x)b = -4xy$, или $-4xb = -4xy$. Отсюда следует, что $b = y$.
• Неизвестный третий член в левой части (*) должен быть равен $b^2$. Так как $b = y$, то * это $y^2$.

Теперь подставим найденные значения $a=2x$ и $b=y$ в правую часть равенства $(* - *)^2$, которая соответствует $(a - b)^2$. Получаем $(2x - y)^2$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$.

Ответ: Первый знак * — это $y^2$, знаки * в скобках — это $2x$ и $y$.

в) * + 12ab + 9b² = (* + 3b)²

Правая часть равенства $(* + 3b)^2$ — это квадрат суммы $(a+b)^2$, где второй член $b$ (из формулы) равен $3b$.

Раскроем скобки в правой части, обозначив неизвестный член как $a$: $(a + 3b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2$.

Теперь сравним это выражение с левой частью исходного равенства: $* + 12ab + 9b²$.

• Квадраты вторых членов совпадают: $9b^2$.
• Приравняем удвоенные произведения: $12ab = 6ab$. Разделив обе части на $6b$, получим $a = \frac{12ab}{6b} = 2a$. Значит, первый член в скобках (*) равен $2a$.
• Первый член в левой части (*) должен быть равен $a^2$ из раскрытой формулы. Подставляя $a=2a$, находим: $* = (2a)^2 = 4a^2$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид: $4a^2 + 12ab + 9b^2 = (2a + 3b)^2$.

Ответ: Первый знак * — это $4a^2$, второй знак * — это $2a$.