Номер 2.298, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.298*. Какое выражение надо прибавить к квадрату разности двух чисел, чтобы получить квадрат суммы тех же чисел?

Для решения этой задачи обозначим два произвольных числа переменными $a$ и $b$.

1. Квадрат разности этих двух чисел представляет собой выражение $(a - b)^2$. Используя формулу сокращенного умножения, раскроем скобки: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

2. Квадрат суммы тех же чисел представляет собой выражение $(a + b)^2$. Также раскроем скобки по соответствующей формуле: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

3. Обозначим искомое выражение, которое нужно прибавить, через $X$. По условию задачи, если мы прибавим $X$ к квадрату разности, мы должны получить квадрат суммы. Запишем это в виде уравнения: $$(a - b)^2 + X = (a + b)^2$$

4. Чтобы найти $X$, выразим его из этого уравнения. Для этого перенесем $(a - b)^2$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $$X = (a + b)^2 - (a - b)^2$$

5. Теперь подставим в полученное выражение раскрытые формы квадратов из пунктов 1 и 2: $$X = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$$

6. Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой (он меняет знаки всех членов внутри нее), и приведем подобные слагаемые: $$X = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$$ $$X = (a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab)$$ $$X = 0 + 0 + 4ab$$ $$X = 4ab$$

Таким образом, к квадрату разности двух чисел нужно прибавить их учетверенное произведение.

Ответ: $4ab$.