Номер 2.299, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.299*: Выделите квадрат двучлена в выражении:

а) $x^2 + 6x + 10$;

б) $y^2 - 16y + 70$.

a) $x^2 + 6x + 10$

Для того чтобы выделить квадрат двучлена, мы используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 + 6x + 10$:

• Первый член $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=x$.
• Второй член $6x$ соответствует удвоенному произведению $2ab$. Подставив $a=x$, получаем $2xb = 6x$. Отсюда находим второй член двучлена: $b = \frac{6x}{2x} = 3$.
• Для полного квадрата нам нужен член $b^2$, который равен $3^2 = 9$.

Теперь преобразуем исходное выражение. Представим свободный член 10 в виде суммы $9 + 1$, чтобы получить необходимый нам полный квадрат:

$x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1$

Группируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы $(x+3)^2$:

$(x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$

Ответ: $(x+3)^2 + 1$

б) $y^2 - 16y + 70$

Для этого выражения мы используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $y^2 - 16y + 70$:

• Первый член $y^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=y$.
• Второй член $-16y$ соответствует удвоенному произведению $-2ab$. Подставив $a=y$, получаем $-2yb = -16y$. Отсюда находим второй член двучлена: $b = \frac{16y}{2y} = 8$.
• Для полного квадрата нам нужен член $b^2$, который равен $8^2 = 64$.

Теперь преобразуем исходное выражение. Представим свободный член 70 в виде суммы $64 + 6$:

$y^2 - 16y + 70 = y^2 - 16y + 64 + 6$

Группируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат разности $(y-8)^2$:

$(y^2 - 16y + 64) + 6 = (y-8)^2 + 6$

Ответ: $(y-8)^2 + 6$