Номер 2.300, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.300*. Докажите, что выражение $81a^2 - 18a + 4$ принимает только положительные значения.

Для доказательства того, что данное выражение всегда положительно, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Исходное выражение: $81a^2 - 18a + 4$.

Заметим, что первый член $81a^2$ является полным квадратом выражения $9a$, то есть $81a^2 = (9a)^2$. Это позволяет нам использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = 9a$. Тогда член $-18a$ в исходном выражении должен соответствовать члену $-2xy$ в формуле:

$-2 \cdot (9a) \cdot y = -18a$

$-18ay = -18a$

Разделив обе части на $-18a$ (при условии $a \neq 0$), получаем $y=1$.

Теперь мы можем записать полный квадрат $(9a - 1)^2$:

$(9a - 1)^2 = (9a)^2 - 2 \cdot 9a \cdot 1 + 1^2 = 81a^2 - 18a + 1$.

Чтобы получить исходное выражение $81a^2 - 18a + 4$, представим его через полученный полный квадрат:

$81a^2 - 18a + 4 = (81a^2 - 18a + 1) + 3$.

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$81a^2 - 18a + 4 = (9a - 1)^2 + 3$.

Проанализируем полученное выражение:

1. Выражение $(9a - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно (больше или равно нулю) при любом значении $a$: $(9a - 1)^2 \ge 0$.
2. Следовательно, сумма неотрицательного выражения $(9a - 1)^2$ и положительного числа 3 всегда будет больше или равна 3:

$(9a - 1)^2 + 3 \ge 0 + 3$

$(9a - 1)^2 + 3 \ge 3$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно 3, а $3 > 0$, то выражение $81a^2 - 18a + 4$ всегда принимает только положительные значения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 3.