Номер 10, страница 104 - гдз по физике 7 класс учебник Исаченкова, Громыко

10. Силикатный блок длиной $a = 50$ см лежит плашмя на горизонтальной поверхности. Определите ширину и высоту блока, если при установке его в два других положения давление на поверхность изменяется в 2,5 и 5,0 раза.

Дано:

Длина силикатного блока: $a = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Коэффициент изменения давления 1: $k_1 = 2.5$

Коэффициент изменения давления 2: $k_2 = 5.0$

Найти:

Ширина блока $b$

Высота блока $c$

Решение:

Давление $p$, которое тело оказывает на опору, определяется по формуле $p = \frac{F}{S}$, где $F$ – сила давления (в данном случае вес блока), а $S$ – площадь опоры. Вес блока $F = mg$ является постоянной величиной, поэтому давление обратно пропорционально площади опоры: $p \sim \frac{1}{S}$.

Пусть размеры блока: длина $a$, ширина $b$ и высота $c$. В начальном положении блок "лежит плашмя". Будем считать, что это означает, что он опирается на грань, образованную длиной и шириной. Площадь опоры в этом положении $S_1 = a \cdot b$. Давление в этом случае $p_1 = \frac{F}{S_1} = \frac{F}{a \cdot b}$.

При установке блока в два других положения, он будет опираться на грани с площадями $S_2 = a \cdot c$ и $S_3 = b \cdot c$. Соответствующие давления будут $p_2 = \frac{F}{S_2} = \frac{F}{a \cdot c}$ и $p_3 = \frac{F}{S_3} = \frac{F}{b \cdot c}$.

Согласно условию, давление изменяется в 2.5 и 5.0 раза по сравнению с начальным. Это означает, что отношения давлений в новых положениях к начальному давлению равны этим значениям. Составим эти отношения:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{F/(a \cdot c)}{F/(a \cdot b)} = \frac{a \cdot b}{a \cdot c} = \frac{b}{c}$

$\frac{p_3}{p_1} = \frac{F/(b \cdot c)}{F/(a \cdot b)} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{a}{c}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $b$ и $c$:

$\frac{b}{c} = k_i$

$\frac{a}{c} = k_j$

где паре $\{k_i, k_j\}$ соответствуют значения $\{2.5, 5.0\}$.

Обычно под "длиной" понимают наибольший размер тела. Предположим, что $a > b > c$. В этом случае отношение $\frac{a}{c}$ будет больше, чем отношение $\frac{b}{c}$. Следовательно, большему коэффициенту изменения давления (5.0) соответствует большее отношение размеров:

$\frac{a}{c} = 5.0$

$\frac{b}{c} = 2.5$

Подставим известное значение длины $a = 50$ см в первое уравнение, чтобы найти высоту $c$:

$c = \frac{a}{5.0} = \frac{50 \text{ см}}{5.0} = 10 \text{ см}$

Теперь, зная высоту $c$, найдем ширину $b$ из второго уравнения:

$b = 2.5 \cdot c = 2.5 \cdot 10 \text{ см} = 25 \text{ см}$

Найденные размеры (ширина 25 см и высота 10 см) согласуются с нашим предположением о соотношении сторон: $a (50 \text{ см}) > b (25 \text{ см}) > c (10 \text{ см})$.

Ответ: ширина блока – 25 см, высота блока – 10 см.