Номер 7, страница 156 - гдз по физике 7 класс учебник Исаченкова, Громыко

7. Шарик бросили с поверхности земли вертикально вверх со скоростью $v = 20 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. На какой высоте от поверхности земли скорость шарика уменьшится в 2 раза? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная скорость шарика: $v_0 = 20 \frac{м}{с}$
Конечное соотношение скоростей: $v = \frac{v_0}{2}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Найти:

Высоту $h$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, полная механическая энергия шарика (сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной на протяжении всего полета.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность земли ($h_0 = 0$). В начальный момент времени (в момент броска) шарик обладает только кинетической энергией:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv_0^2}{2}$

На искомой высоте $h$ скорость шарика уменьшится в 2 раза и станет равной $v = \frac{v_0}{2}$. На этой высоте шарик будет обладать как кинетической, так и потенциальной энергией:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Подставим в это выражение значение скорости $v$:

$E = \frac{m(\frac{v_0}{2})^2}{2} + mgh = \frac{m v_0^2}{4 \cdot 2} + mgh = \frac{mv_0^2}{8} + mgh$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной: $E_0 = E$.

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{8} + mgh$

Массу шарика $m$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v_0^2}{8} + gh$

Теперь выразим из этого уравнения искомую высоту $h$. Сначала найдем $gh$:

$gh = \frac{v_0^2}{2} - \frac{v_0^2}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$gh = \frac{4v_0^2 - v_0^2}{8} = \frac{3v_0^2}{8}$

Отсюда высота $h$ равна:

$h = \frac{3v_0^2}{8g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{3 \cdot (20 \frac{м}{с})^2}{8 \cdot 10 \frac{м}{с^2}} = \frac{3 \cdot 400 \frac{м^2}{с^2}}{80 \frac{м}{с^2}} = \frac{1200}{80} м = 15 м$

Ответ: скорость шарика уменьшится в 2 раза на высоте 15 м от поверхности земли.