Номер 4, страница 143 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

4. Как изменится ширина пучка параллельных лучей после преломления его на границе сред воздух — вода? Сделайте чертеж, поясняющий ответ.

При переходе пучка параллельных лучей из оптически менее плотной среды (воздух) в оптически более плотную среду (вода), лучи преломляются, приближаясь к перпендикуляру (нормали), восстановленному в точке падения. Рассмотрим, как это влияет на ширину пучка.

Сделаем поясняющий чертеж:

Дано:

Пучок параллельных лучей переходит из среды 1 (воздух) в среду 2 (вода).
Показатель преломления воздуха: $n_1$.
Показатель преломления воды: $n_2$.
Известно, что вода является оптически более плотной средой, чем воздух, поэтому $n_2 > n_1$.
Угол падения лучей: $\alpha$.
Угол преломления лучей: $\beta$.
Ширина падающего пучка: $d_1$.
Ширина преломленного пучка: $d_2$.

Найти:

Как изменится ширина пучка, то есть найти соотношение между $d_2$ и $d_1$.

Решение:

Рассмотрим два крайних луча в пучке, которые падают на границу раздела сред в точках A и B. Расстояние между этими точками вдоль границы раздела обозначим как $L$. Ширина пучка — это расстояние между лучами, измеренное по перпендикуляру к ним.

Из геометрии на чертеже видно, что ширину падающего пучка $d_1$ можно выразить через расстояние $L$ и угол падения $\alpha$. Рассматривая прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза, а $d_1$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$, получаем:

$d_1 = L \cdot \cos\alpha$

Аналогично, для преломленного пучка его ширина $d_2$ связана с расстоянием $L$ и углом преломления $\beta$:

$d_2 = L \cdot \cos\beta$

Чтобы найти соотношение между $d_2$ и $d_1$, разделим второе выражение на первое:

$\frac{d_2}{d_1} = \frac{L \cdot \cos\beta}{L \cdot \cos\alpha} = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$

Теперь воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Из этого закона выразим синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{n_1}{n_2} \sin\alpha$

Поскольку свет переходит из воздуха в воду, $n_1 < n_2$, следовательно, множитель $\frac{n_1}{n_2} < 1$.Это означает, что для любого угла падения $\alpha > 0$:

$\sin\beta < \sin\alpha$

Так как углы падения и преломления находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, и в этом диапазоне функция синуса возрастает, из неравенства $\sin\beta < \sin\alpha$ следует, что $\beta < \alpha$.

Рассмотрим теперь соотношение косинусов. В диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция косинуса является убывающей. Это значит, что меньшему углу соответствует большее значение косинуса. Поскольку $\beta < \alpha$, то:

$\cos\beta > \cos\alpha$

Возвращаясь к соотношению ширин пучка, получаем:

$\frac{d_2}{d_1} = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} > 1$

Следовательно, $d_2 > d_1$. Ширина пучка увеличивается.

Важно отметить, что этот вывод справедлив для наклонного падения ($\alpha > 0$). В частном случае, когда пучок падает перпендикулярно границе раздела сред (нормальное падение), угол падения $\alpha = 0$. Тогда из закона Снеллиуса и угол преломления $\beta = 0$. В этом случае $\cos\alpha = \cos(0) = 1$ и $\cos\beta = \cos(0) = 1$, поэтому $\frac{d_2}{d_1} = 1$, и ширина пучка не изменяется.

Ответ: При преломлении на границе сред воздух-вода ширина пучка параллельных лучей увеличивается (в случае наклонного падения). Если пучок падает перпендикулярно поверхности, его ширина не изменяется.