Номер 3, страница 150 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

3. На каком расстоянии от собирающей линзы нужно расположить предмет, чтобы получить изображение:

а) уменьшенное;

б) равное предмету;

в) увеличенное (прямое и перевернутое)?

Для решения этой задачи используются формула тонкой линзы и формула линейного увеличения. Характер изображения (уменьшенное, увеличенное, равное) и его тип (действительное/перевернутое или мнимое/прямое) зависят от положения предмета относительно фокусного расстояния $F$ собирающей линзы.

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ Для собирающей линзы $F > 0$. Если изображение действительное, то $f > 0$. Если мнимое, то $f < 0$.

Линейное увеличение $ \Gamma $ показывает отношение размера изображения $H$ к размеру предмета $h$: $$ \Gamma = \frac{H}{h} = \left|\frac{f}{d}\right| $$ Действительные изображения, формируемые одной собирающей линзой, всегда перевернутые, а мнимые — прямые.

а) уменьшенное

Чтобы изображение было уменьшенным, линейное увеличение должно быть меньше единицы: $ \Gamma < 1 $. Это означает, что $ \left|\frac{f}{d}\right| < 1 $, или $ |f| < d $. Уменьшенное изображение, даваемое собирающей линзой, является действительным ($f > 0$), поэтому условие принимает вид $f < d$. Выразим $f$ из формулы тонкой линзы: $ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{dF} $, откуда $ f = \frac{dF}{d-F} $. Подставим в неравенство $f < d$: $$ \frac{dF}{d-F} < d $$ Поскольку $d > 0$, можно разделить обе части на $d$: $$ \frac{F}{d-F} < 1 $$ Для получения действительного изображения ($f > 0$) необходимо, чтобы знаменатель $d-F$ был положительным, то есть $d > F$. В этом случае можно умножить неравенство на $d-F$, не меняя его знака: $$ F < d-F $$ $$ 2F < d $$ Таким образом, для получения уменьшенного изображения предмет должен находиться за двойным фокусом линзы.

Ответ: Предмет нужно расположить на расстоянии от линзы, большем двойного фокусного расстояния ($d > 2F$).

б) равное предмету

Чтобы изображение было равным предмету по размеру, линейное увеличение должно быть равно единице: $ \Gamma = 1 $. Это означает, что $ |f| = d $. Такое изображение будет действительным ($f > 0$), поэтому $f = d$. Подставим это условие в формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{d} = \frac{1}{F} $$ $$ \frac{2}{d} = \frac{1}{F} $$ $$ d = 2F $$ В этом случае предмет находится в точке двойного фокуса, и его действительное, перевернутое изображение также находится в точке двойного фокуса с другой стороны линзы.

Ответ: Предмет нужно расположить на расстоянии от линзы, равном двойному фокусному расстоянию ($d = 2F$).

в) увеличенное (прямое и перевернутое)

Чтобы изображение было увеличенным, линейное увеличение должно быть больше единицы: $ \Gamma > 1 $, что соответствует условию $|f| > d$. Собирающая линза может давать как перевернутое (действительное), так и прямое (мнимое) увеличенное изображение.

Увеличенное перевернутое изображение. Это действительное изображение ($f > 0$), поэтому условие — $f > d$. Используем выведенное ранее выражение для $f$: $$ \frac{dF}{d-F} > d $$ Для действительного изображения $d > F$. Аналогично пункту а), после преобразований получаем: $$ \frac{F}{d-F} > 1 $$ $$ F > d-F $$ $$ 2F > d $$ Объединяя с условием $d > F$, получаем, что для получения увеличенного действительного (перевернутого) изображения предмет нужно расположить между фокусом и двойным фокусом.

Увеличенное прямое изображение. Это мнимое изображение ($f < 0$). Для этого предмет должен быть расположен между линзой и её главным фокусом, то есть $d < F$. Условие увеличения: $|f| > d$. Поскольку $f$ отрицательно, $|f| = -f = -\frac{dF}{d-F} = \frac{dF}{F-d}$. Подставляем в неравенство: $$ \frac{dF}{F-d} > d $$ Делим на $d$ (которое положительно): $$ \frac{F}{F-d} > 1 $$ Знаменатель $F-d$ положителен, так как $d < F$. Умножаем на него: $$ F > F-d $$ $$ 0 > -d \implies d > 0 $$ Это условие всегда выполняется для любого предмета. Следовательно, если предмет расположен на любом расстоянии от линзы, меньшем фокусного ($0 < d < F$), изображение будет увеличенным, прямым и мнимым.

Ответ: Чтобы получить увеличенное перевернутое (действительное) изображение, предмет нужно расположить между фокусом и двойным фокусом ($F < d < 2F$). Чтобы получить увеличенное прямое (мнимое) изображение, предмет нужно расположить между линзой и фокусом ($d < F$).