Номер 3, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

3. Назовите пять свойств параллелограмма, свойства прямоугольника, ромба и квадрата.

Свойства параллелограмма:

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Ниже приведены пять его основных свойств.

• Противоположные стороны не только параллельны, но и равны по длине. Для параллелограмма ABCD: $AB = CD$ и $BC = AD$.
• Противоположные углы равны. Для параллелограмма ABCD: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда составляет $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
• Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Если диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, то $AO = OC$ и $BO = OD$.
• Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон (тождество параллелограмма): $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны.

Ответ: Пятью свойствами параллелограмма являются: равенство противоположных сторон, равенство противоположных углов, сумма прилежащих к одной стороне углов равна $180^\circ$, диагонали делятся точкой пересечения пополам, и сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

Свойства прямоугольника:

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма и обладает дополнительными уникальными свойствами.

• Все углы прямые и равны $90^\circ$.
• Диагонали прямоугольника равны между собой. Если $d_1$ и $d_2$ — диагонали, то $d_1 = d_2$.
• Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин его двух смежных сторон (согласно теореме Пифагора): $d^2 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.
• Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность, причём диагональ прямоугольника является диаметром этой окружности.
• Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма, а его отличительные свойства — это наличие прямых углов и равенство диагоналей.

Свойства ромба:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также следующими специфическими свойствами.

• Все четыре стороны ромба равны по длине.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (взаимно перпендикулярны): $d_1 \perp d_2$.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).
• В любой ромб можно вписать окружность, центром которой является точка пересечения диагоналей.
• Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма: противоположные углы равны, противолежащие стороны параллельны, диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Ромб наследует все свойства параллелограмма, но его характерные черты — это равенство всех сторон, перпендикулярность его диагоналей, а также то, что диагонали являются биссектрисами углов.

Свойства квадрата:

Квадрат — это правильный четырёхугольник, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом. Поэтому он обладает всеми свойствами этих фигур.

• Все стороны равны, и все углы равны $90^\circ$.
• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами его углов.
• Длина диагонали связана со стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$.
• Квадрат обладает наивысшей симметрией среди всех четырёхугольников: у него 4 оси симметрии и центр симметрии (точка пересечения диагоналей).
• Около квадрата можно описать окружность, и в него можно вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

Ответ: Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Его ключевые свойства: все стороны равны, все углы прямые, диагонали равны, перпендикулярны и делят углы пополам.