Номер 4, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

4. Как звучит теорема Фалеса, и каким свойством обладает средняя линия треугольника?

Как звучит теорема Фалеса

Теорема Фалеса является одной из фундаментальных теорем планиметрии. Её наиболее распространенная формулировка звучит следующим образом:

Если параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Для наглядности, представим две произвольные прямые $a$ и $b$. Их пересекает несколько параллельных прямых ($l_1 \parallel l_2 \parallel l_3 \parallel \dots$). Пусть точки пересечения с прямой $a$ — это $A_1, A_2, A_3, \dots$, а с прямой $b$ — это $B_1, B_2, B_3, \dots$. Если отрезки, отсекаемые на прямой $a$, равны, то есть $A_1A_2 = A_2A_3 = \dots$, то согласно теореме Фалеса, отрезки, отсекаемые на прямой $b$, также будут равны: $B_1B_2 = B_2B_3 = \dots$.

Существует и обобщённая теорема Фалеса (также известная как теорема о пропорциональных отрезках), которая утверждает, что параллельные прямые отсекают на пересекаемых ими прямых пропорциональные отрезки. Для приведённого выше примера это означает, что выполняется соотношение: $\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3} = \frac{A_3A_4}{B_3B_4} = \dots$.

Ответ: Если параллельные прямые пересекают две стороны угла (или две произвольные прямые) и отсекают на одной стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой стороне.

Каким свойством обладает средняя линия треугольника

Для начала необходимо дать определение. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Основное свойство средней линии треугольника заключается в следующем:

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне (основанию) и равна её половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Тогда отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. Согласно свойству:
1. Средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$, то есть $MN \parallel AC$.
2. Длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $AC$, то есть $MN = \frac{1}{2}AC$.

Это свойство является важным следствием теоремы Фалеса (в её обобщенной форме).

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (той, которую она не пересекает) и равна половине этой стороны.