Номер 1.177, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.177. Выполните действия наиболее рациональным способом:

а) $\frac{m^2-m}{m^4+m^3} \cdot \frac{m^5+m^4}{(3m-3)^2}$;

б) $\frac{n^7+n^5}{(2n-2)^2} : \frac{n^6+n^4}{9n^2-9n}$.

а) Чтобы выполнить действия, разложим числители и знаменатели дробей на множители. Это позволит нам сократить выражение.

Исходное выражение: $ \frac{m^2 - m}{m^4 + m^3} \cdot \frac{m^5 + m^4}{(3m - 3)^2} $

1. Факторизация каждого компонента:

• Числитель первой дроби: $ m^2 - m = m(m - 1) $
• Знаменатель первой дроби: $ m^4 + m^3 = m^3(m + 1) $
• Числитель второй дроби: $ m^5 + m^4 = m^4(m + 1) $
• Знаменатель второй дроби: $ (3m - 3)^2 = (3(m - 1))^2 = 9(m - 1)^2 $

2. Подставляем разложенные выражения и выполняем умножение:

$ \frac{m(m - 1)}{m^3(m + 1)} \cdot \frac{m^4(m + 1)}{9(m - 1)^2} = \frac{m(m - 1) \cdot m^4(m + 1)}{m^3(m + 1) \cdot 9(m - 1)^2} $

3. Сокращаем общие множители $ (m+1) $, $ (m-1) $ и степени переменной $m$:

$ \frac{m^{1+4} (m - 1)(m + 1)}{9m^3 (m - 1)^2 (m + 1)} = \frac{m^5(m-1)(m+1)}{9m^3(m-1)^2(m+1)} = \frac{m^{5-3}}{9(m-1)^{2-1}} = \frac{m^2}{9(m-1)} $

Ответ: $ \frac{m^2}{9(m - 1)} $

б) Для выполнения деления дробей, мы заменяем его на умножение, переворачивая вторую дробь. Затем, как и в предыдущем примере, раскладываем на множители и сокращаем.

Исходное выражение: $ \frac{n^7 + n^5}{(2n - 2)^2} : \frac{n^6 + n^4}{9n^2 - 9n} $

1. Заменяем деление на умножение:

$ \frac{n^7 + n^5}{(2n - 2)^2} \cdot \frac{9n^2 - 9n}{n^6 + n^4} $

2. Факторизация каждого компонента:

• $ n^7 + n^5 = n^5(n^2 + 1) $
• $ (2n - 2)^2 = (2(n - 1))^2 = 4(n - 1)^2 $
• $ 9n^2 - 9n = 9n(n - 1) $
• $ n^6 + n^4 = n^4(n^2 + 1) $

3. Подставляем разложенные выражения и выполняем умножение:

$ \frac{n^5(n^2 + 1)}{4(n - 1)^2} \cdot \frac{9n(n - 1)}{n^4(n^2 + 1)} = \frac{n^5(n^2 + 1) \cdot 9n(n - 1)}{4(n - 1)^2 \cdot n^4(n^2 + 1)} $

4. Сокращаем общие множители $ (n^2+1) $, $ (n-1) $ и степени переменной $n$:

$ \frac{9 \cdot n^{5+1} (n^2 + 1)(n - 1)}{4 \cdot n^4 (n - 1)^2 (n^2 + 1)} = \frac{9n^6(n^2+1)(n-1)}{4n^4(n-1)^2(n^2+1)} = \frac{9n^{6-4}}{4(n-1)^{2-1}} = \frac{9n^2}{4(n-1)} $

5. Числовой коэффициент $ \frac{9}{4} $ является неправильной дробью. Выделим из него целую часть: $ \frac{9}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4} $.

Ответ: $ 2\frac{1}{4}\frac{n^2}{n - 1} $