Номер 1.184, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.184*. Выполните действия:

a) $\frac{2xz^2}{3x-2x} \cdot \frac{9xy-4xy}{10x^4z^4} : \frac{3y+2y}{25x^3z^2}$

б) $\frac{3c^2x}{ax-bx} : \frac{6c^3x^5}{a^2x-b^2x} \cdot \frac{4cx^4}{a+b}$

а) Выполним действия с алгебраическими дробями:

$$ \frac{2xz^2}{3x-2x} \cdot \frac{9xy-4xy}{10x^4z^4} : \frac{3y+2y}{25x^3z^2} $$

1. Сначала упростим выражения в числителях и знаменателях каждой дроби:

• В знаменателе первой дроби: $3x-2x = x$
• В числителе второй дроби: $9xy-4xy = 5xy$
• В числителе третьей дроби: $3y+2y = 5y$

После упрощения выражение принимает вид:

$$ \frac{2xz^2}{x} \cdot \frac{5xy}{10x^4z^4} : \frac{5y}{25x^3z^2} $$

2. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Заменим знак деления на умножение и перевернем третью дробь:

$$ \frac{2xz^2}{x} \cdot \frac{5xy}{10x^4z^4} \cdot \frac{25x^3z^2}{5y} $$

3. Теперь запишем все множители в одну дробь, отдельно сгруппировав числовые коэффициенты и переменные:

$$ \frac{2 \cdot 5 \cdot 25 \cdot x \cdot z^2 \cdot x \cdot y \cdot x^3 \cdot z^2}{x \cdot 10 \cdot x^4 \cdot z^4 \cdot 5 \cdot y} = \frac{(2 \cdot 5 \cdot 25)}{(10 \cdot 5)} \cdot \frac{(x \cdot x \cdot x^3)}{(x \cdot x^4)} \cdot \frac{y}{y} \cdot \frac{(z^2 \cdot z^2)}{z^4} $$

4. Выполним сокращение для каждой группы:

• Числовые коэффициенты: $\frac{250}{50} = 5$
• Переменная $x$: $\frac{x^{1+1+3}}{x^{1+4}} = \frac{x^5}{x^5} = 1$
• Переменная $y$: $\frac{y}{y} = 1$
• Переменная $z$: $\frac{z^{2+2}}{z^4} = \frac{z^4}{z^4} = 1$

5. Перемножим полученные результаты, чтобы найти окончательный ответ:

$$ 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 5 $$

Ответ: 5

б) Выполним действия с алгебраическими дробями:

$$ \frac{3c^2x}{ax-bx} : \frac{6c^3x^5}{a^2x-b^2x} \cdot \frac{4cx^4}{a+b} $$

1. Сначала разложим на множители знаменатели, где это возможно:

• В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $x$: $ax-bx = x(a-b)$
• В знаменателе второй дроби вынесем $x$ и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $a^2x-b^2x = x(a^2-b^2) = x(a-b)(a+b)$

После подстановки выражение принимает вид:

$$ \frac{3c^2x}{x(a-b)} : \frac{6c^3x^5}{x(a-b)(a+b)} \cdot \frac{4cx^4}{a+b} $$

2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$$ \frac{3c^2x}{x(a-b)} \cdot \frac{x(a-b)(a+b)}{6c^3x^5} \cdot \frac{4cx^4}{a+b} $$

3. Запишем все множители в одну дробь:

$$ \frac{3c^2x \cdot x(a-b)(a+b) \cdot 4cx^4}{x(a-b) \cdot 6c^3x^5 \cdot (a+b)} $$

4. Сгруппируем коэффициенты, переменные и скобки, а затем сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{(3 \cdot 4)}{6} \cdot \frac{(c^2 \cdot c)}{c^3} \cdot \frac{(x \cdot x \cdot x^4)}{(x \cdot x^5)} \cdot \frac{(a-b)}{(a-b)} \cdot \frac{(a+b)}{(a+b)} $$

5. Выполним вычисления для каждой группы:

• Числовые коэффициенты: $\frac{12}{6} = 2$
• Переменная $c$: $\frac{c^{2+1}}{c^3} = \frac{c^3}{c^3} = 1$
• Переменная $x$: $\frac{x^{1+1+4}}{x^{1+5}} = \frac{x^6}{x^6} = 1$
• Выражение $(a-b)$: $\frac{a-b}{a-b} = 1$
• Выражение $(a+b)$: $\frac{a+b}{a+b} = 1$

6. Перемножим полученные результаты:

$$ 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 2 $$

Ответ: 2