Номер 1.191, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.191. Выполните действия с рациональными дробями:

а) $\frac{12a}{b} \cdot \frac{b}{3a}$;

б) $\frac{x}{5y^3} : \frac{x}{y^2}$;

в) $\frac{a^4b}{c^2} \cdot \frac{cd}{ab}$;

г) $\frac{3m}{16n^2} : \frac{7m^2}{12n}$;

д) $\frac{7a^2b}{2c} \cdot \frac{ac^2}{14b}$;

е) $\frac{5xy^3}{z} : \frac{x^2y^2}{15z^3}$.

а) Чтобы умножить две рациональные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем следует сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общие множители.

$\frac{12a}{b} \cdot \frac{b}{3a} = \frac{12a \cdot b}{b \cdot 3a}$

Сокращаем общие множители $a$ и $b$. Также сокращаем числовые коэффициенты $12$ и $3$.

$\frac{12 \cdot a \cdot b}{3 \cdot a \cdot b} = \frac{12}{3} = 4$

Ответ: 4.

б) Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{x}{5y^3} : \frac{x}{y^2} = \frac{x}{5y^3} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x \cdot y^2}{5y^3 \cdot x}$

Сокращаем общие множители. Сокращаем на $x$. Для переменной $y$ используем свойство степеней: $\frac{y^m}{y^n} = y^{m-n}$.

$\frac{x \cdot y^2}{5x \cdot y^3} = \frac{1 \cdot y^{2-3}}{5} = \frac{y^{-1}}{5} = \frac{1}{5y}$

Ответ: $\frac{1}{5y}$.

в) Выполняем умножение дробей, перемножая их числители и знаменатели.

$\frac{a^4b}{c^2} \cdot \frac{cd}{ab} = \frac{a^4b \cdot cd}{c^2 \cdot ab} = \frac{a^4bcd}{abc^2}$

Сокращаем дробь, используя свойства степеней для $a$ и $c$. Множитель $b$ в числителе и знаменателе также сокращается.

$\frac{a^{4-1}d}{c^{2-1}} = \frac{a^3d}{c}$

Ответ: $\frac{a^3d}{c}$.

г) Для выполнения деления, заменяем его на умножение на обратную дробь.

$\frac{3m}{16n^2} : \frac{7m^2}{12n} = \frac{3m}{16n^2} \cdot \frac{12n}{7m^2} = \frac{3m \cdot 12n}{16n^2 \cdot 7m^2}$

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные. Числовую часть $\frac{3 \cdot 12}{16 \cdot 7} = \frac{36}{112}$ можно сократить на 4: $\frac{9}{28}$.

$\frac{36 \cdot mn}{112 \cdot m^2n^2} = \frac{9}{28} \cdot \frac{m}{m^2} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{9}{28} \cdot \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{n} = \frac{9}{28mn}$

Ответ: $\frac{9}{28mn}$.

д) Выполняем умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели.

$\frac{7a^2b}{2c} \cdot \frac{ac^2}{14b} = \frac{7a^2b \cdot ac^2}{2c \cdot 14b} = \frac{7a^3bc^2}{28bc}$

Сократим полученную дробь. Коэффициенты $\frac{7}{28}$ сокращаются до $\frac{1}{4}$. Переменные $b$ сокращаются. Для $c$ используем правило степеней $\frac{c^2}{c} = c$.

$\frac{7a^3bc^2}{28bc} = \frac{1 \cdot a^3 \cdot c}{4} = \frac{a^3c}{4}$

Ответ: $\frac{a^3c}{4}$.

е) Выполняем деление, заменяя его на умножение на обратную дробь.

$\frac{5xy^3}{z} : \frac{x^2y^2}{15z^3} = \frac{5xy^3}{z} \cdot \frac{15z^3}{x^2y^2} = \frac{5xy^3 \cdot 15z^3}{z \cdot x^2y^2}$

Объединяем и сокращаем. Коэффициенты перемножаются: $5 \cdot 15 = 75$. Сокращаем переменные, используя свойства степеней.

$\frac{75 \cdot x \cdot y^3 \cdot z^3}{x^2 \cdot y^2 \cdot z} = 75 \cdot x^{1-2} \cdot y^{3-2} \cdot z^{3-1} = 75 \cdot x^{-1} \cdot y^1 \cdot z^2 = \frac{75yz^2}{x}$

Ответ: $\frac{75yz^2}{x}$.