Номер 1.193, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.193. Выполните умножение рациональных дробей:

а) $\frac{a^2 - 3ab}{b} \cdot \frac{b}{a};$

б) $\frac{c}{3c - 3d} \cdot \frac{c - d}{cd};$

в) $\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{1}{x^2 + 5x};$

г) $\frac{5m - 5n}{m^3} \cdot \frac{m^2}{2n - 2m}.$

а) Выполним умножение дробей: $\frac{a^2 - 3ab}{b} \cdot \frac{b}{a}$

1. Для упрощения выражения сначала разложим на множители числитель первой дроби. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a^2 - 3ab = a(a - 3b)$

2. Теперь наше произведение дробей выглядит так:
$\frac{a(a - 3b)}{b} \cdot \frac{b}{a}$

3. Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:
$\frac{a(a - 3b) \cdot b}{b \cdot a}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $a$ и $b$. При условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$, мы можем их сократить:
$\frac{\cancel{a}(a - 3b) \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot \cancel{a}} = a - 3b$

Ответ: $a - 3b$

б) Выполним умножение дробей: $\frac{c}{3c - 3d} \cdot \frac{c - d}{cd}$

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся за скобки общий множитель 3:
$3c - 3d = 3(c - d)$

2. Подставим полученное выражение обратно в произведение:
$\frac{c}{3(c - d)} \cdot \frac{c - d}{cd}$

3. Перемножим числители с числителями, а знаменатели со знаменателями:
$\frac{c \cdot (c - d)}{3(c - d) \cdot cd}$

4. Сократим общие множители $c$ и $(c - d)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $c \neq 0$, $d \neq 0$ и $c \neq d$.
$\frac{\cancel{c} \cdot \cancel{(c - d)}}{3\cancel{(c - d)} \cdot \cancel{c}d} = \frac{1}{3d}$

Ответ: $\frac{1}{3d}$

в) Выполним умножение дробей: $\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{1}{x^2 + 5x}$

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся за скобки общий множитель $x$:
$x^2 + 5x = x(x + 5)$

2. Запишем произведение с разложенным знаменателем:
$\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{1}{x(x + 5)}$

3. Умножим дроби:
$\frac{(x + 5) \cdot 1}{x \cdot x(x + 5)} = \frac{x + 5}{x^2(x + 5)}$

4. Сократим общий множитель $(x + 5)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$):
$\frac{\cancel{(x + 5)}}{x^2\cancel{(x + 5)}} = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $\frac{1}{x^2}$

г) Выполним умножение дробей: $\frac{5m - 5n}{m^3} \cdot \frac{m^2}{2n - 2m}$

1. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби:
В числителе первой дроби вынесем 5: $5m - 5n = 5(m - n)$
В знаменателе второй дроби вынесем 2: $2n - 2m = 2(n - m)$. Чтобы получить выражение, похожее на числитель, вынесем $-2$: $2(n - m) = -2(m - n)$

2. Подставим разложенные выражения в наше произведение:
$\frac{5(m - n)}{m^3} \cdot \frac{m^2}{-2(m - n)}$

3. Перемножим дроби:
$\frac{5(m - n) \cdot m^2}{m^3 \cdot (-2(m - n))}$

4. Сократим общие множители. Общими множителями являются $(m-n)$ и $m^2$. Сокращение возможно при $m \neq 0$ и $m \neq n$.
$\frac{5\cancel{(m - n)} \cdot \cancel{m^2}}{m \cdot \cancel{m^2} \cdot (-2)\cancel{(m - n)}} = \frac{5}{-2m} = -\frac{5}{2m}$

Ответ: $-\frac{5}{2m}$