Номер 1.197, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.197. Возведите в квадрат, куб и четвертую степень выражение $-\frac{3a^2b}{a^2-b}$.

Для того чтобы возвести дробное выражение в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби, используя свойство $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$. Также необходимо учесть знак исходного выражения. При возведении отрицательного выражения в четную степень (2, 4) результат будет положительным. При возведении в нечетную степень (3) результат будет отрицательным.

Исходное выражение: $E = -\frac{3a^2b}{a^2-b}$

В квадрат:
Возводим выражение во вторую степень. Так как степень четная (2), знак минус уходит, и мы получаем положительное выражение: $$ \left(-\frac{3a^2b}{a^2-b}\right)^2 = \frac{(3a^2b)^2}{(a^2-b)^2} $$ Теперь возводим в квадрат числитель, используя свойства $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$: $$ (3a^2b)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 9a^4b^2 $$ Знаменатель $(a^2-b)^2$ оставляем в виде степени для краткости записи.
Ответ: $\frac{9a^4b^2}{(a^2-b)^2}$

В куб:
Возводим выражение в третью степень. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется: $$ \left(-\frac{3a^2b}{a^2-b}\right)^3 = - \frac{(3a^2b)^3}{(a^2-b)^3} $$ Возводим в куб числитель: $$ (3a^2b)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = 27a^6b^3 $$ Знаменатель $(a^2-b)^3$ оставляем в виде степени.
Ответ: $-\frac{27a^6b^3}{(a^2-b)^3}$

В четвертую степень:
Возводим выражение в четвертую степень. Так как степень четная (4), знак минус уходит, и результат будет положительным: $$ \left(-\frac{3a^2b}{a^2-b}\right)^4 = \frac{(3a^2b)^4}{(a^2-b)^4} $$ Возводим в четвертую степень числитель: $$ (3a^2b)^4 = 3^4 \cdot (a^2)^4 \cdot b^4 = 81a^8b^4 $$ Знаменатель $(a^2-b)^4$ оставляем в виде степени.
Ответ: $\frac{81a^8b^4}{(a^2-b)^4}$