Номер 1.201, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.201. Представьте в виде степени рациональную дробь:

а) $\frac{49a^8}{b^2c^{10}}$;

б) $\frac{(m - n)^6}{c^9d^{12}}$;

в) $\frac{a^8b^{12}}{(a + b)^{16}}$.

Чтобы представить рациональную дробь в виде степени, нужно найти общий показатель степени для всех множителей в числителе и знаменателе. Для этого находим наибольший общий делитель (НОД) всех показателей степеней, включая числовые коэффициенты, представленные в виде степени. Этот НОД будет показателем итоговой степени. Основание каждого множителя в дроби будет равно исходному основанию, возведенному в степень, равную частному от деления исходного показателя на НОД.

а) $\frac{49a^8}{b^2c^{10}}$

1. Сначала представим числовой коэффициент 49 как степень. $49 = 7^2$.
2. Дробь принимает вид: $\frac{7^2a^8}{b^2c^{10}}$.
3. Показатели степеней всех множителей в дроби: 2 (у числа 7), 8 (у $a$), 2 (у $b$) и 10 (у $c$).
4. Найдем наибольший общий делитель этих показателей: НОД(2, 8, 2, 10) = 2.
5. Это значит, что всю дробь можно представить в виде квадрата некоторого выражения.
6. Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, преобразуем каждый множитель так, чтобы вынести за скобки степень 2:
- Числитель: $7^2a^8 = 7^2 \cdot (a^{8/2})^2 = 7^2 \cdot (a^4)^2 = (7a^4)^2$.
- Знаменатель: $b^2c^{10} = b^2 \cdot (c^{10/2})^2 = b^2 \cdot (c^5)^2 = (bc^5)^2$.
7. Теперь дробь выглядит так: $\frac{(7a^4)^2}{(bc^5)^2}$.
8. По свойству степени дроби $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, объединяем числитель и знаменатель под общим показателем степени.

Ответ: $\left(\frac{7a^4}{bc^5}\right)^2$.

б) $\frac{(m-n)^6}{c^9d^{12}}$

1. Показатели степеней в данной дроби: 6 (у выражения $(m-n)$), 9 (у $c$) и 12 (у $d$).
2. Найдем наибольший общий делитель этих показателей: НОД(6, 9, 12) = 3.
3. Следовательно, всю дробь можно представить в виде куба (третьей степени) некоторого выражения.
4. Преобразуем каждый множитель, вынося за скобки степень 3:
- Числитель: $(m-n)^6 = ((m-n)^{6/3})^3 = ((m-n)^2)^3$.
- Знаменатель: $c^9d^{12} = (c^{9/3})^3 \cdot (d^{12/3})^3 = (c^3)^3 \cdot (d^4)^3 = (c^3d^4)^3$.
5. Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{((m-n)^2)^3}{(c^3d^4)^3}$.
6. Объединим числитель и знаменатель под общим показателем степени 3.

Ответ: $\left(\frac{(m-n)^2}{c^3d^4}\right)^3$.

в) $\frac{a^8b^{12}}{(a+b)^{16}}$

1. Показатели степеней в дроби: 8 (у $a$), 12 (у $b$) и 16 (у выражения $(a+b)$).
2. Найдем наибольший общий делитель этих показателей: НОД(8, 12, 16) = 4.
3. Таким образом, всю дробь можно представить в виде четвертой степени некоторого выражения.
4. Преобразуем каждый множитель, вынося за скобки степень 4:
- Числитель: $a^8b^{12} = (a^{8/4})^4 \cdot (b^{12/4})^4 = (a^2)^4 \cdot (b^3)^4 = (a^2b^3)^4$.
- Знаменатель: $(a+b)^{16} = ((a+b)^{16/4})^4 = ((a+b)^4)^4$.
5. Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{(a^2b^3)^4}{((a+b)^4)^4}$.
6. Объединим числитель и знаменатель под общим показателем степени 4.

Ответ: $\left(\frac{a^2b^3}{(a+b)^4}\right)^4$.