Номер 1.202, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.202. Упростите выражение, результат запишите в виде несократимой дроби:

а) $\frac{3x^2-6x}{x^2+x-ax-a} \cdot \frac{x^2-1}{x^2-4}$;

б) $\frac{x^2-16}{x^2-a^2} : \frac{x^2+4x}{x^3-a^2x+x^2-a^2}$

а) Выполним упрощение выражения $ \frac{3x^2 - 6x}{x^2 + x - ax - a} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} $.

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$
• $x^2 + x - ax - a = x(x + 1) - a(x + 1) = (x + 1)(x - a)$
• $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (как разность квадратов)
• $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (как разность квадратов)

2. Подставим разложенные выражения и сократим общие множители:

$$ \frac{3x(x - 2)}{(x + 1)(x - a)} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x\cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x + 1)}(x - a)} \cdot \frac{(x - 1)\cancel{(x + 1)}}{\cancel{(x - 2)}(x + 2)} = \frac{3x(x - 1)}{(x - a)(x + 2)} $$

3. Результатом является несократимая дробь $ \frac{3x^2 - 3x}{x^2 + (2-a)x - 2a} $. Так как степень числителя равна степени знаменателя, это неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть путем деления многочлена на многочлен:

$$ \frac{3x^2 - 3x}{x^2 + (2-a)x - 2a} = \frac{3(x^2 + (2-a)x - 2a) - 3(2-a)x + 6a - 3x}{x^2 + (2-a)x - 2a} = 3 + \frac{-3x - (6-3a)x + 6a}{x^2 + (2-a)x - 2a} = 3 + \frac{(3a-9)x + 6a}{(x-a)(x+2)} $$

Ответ: 3$ + \frac{(3a-9)x + 6a}{(x-a)(x+2)}$

б) Выполним упрощение выражения $ \frac{x^2 - 16}{x^2 - a^2} : \frac{x^2 + 4x}{x^3 - a^2x + x^2 - a^2} $.

1. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{x^2 - 16}{x^2 - a^2} \cdot \frac{x^3 - a^2x + x^2 - a^2}{x^2 + 4x} $$

2. Разложим на множители числители и знаменатели:

• $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
• $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$
• $x^3 - a^2x + x^2 - a^2 = x(x^2 - a^2) + (x^2 - a^2) = (x^2 - a^2)(x + 1) = (x - a)(x + a)(x + 1)$
• $x^2 + 4x = x(x + 4)$

3. Подставим разложенные выражения и сократим общие множители:

$$ \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - a)(x + a)} \cdot \frac{(x - a)(x + a)(x + 1)}{x(x + 4)} = \frac{(x - 4)\cancel{(x + 4)}}{\cancel{(x - a)}\cancel{(x + a)}} \cdot \frac{\cancel{(x - a)}\cancel{(x + a)}(x + 1)}{x\cancel{(x + 4)}} = \frac{(x - 4)(x + 1)}{x} $$

4. Получили несократимую дробь $ \frac{x^2 - 3x - 4}{x} $. Это неправильная дробь, так как степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Выделим целую часть, разделив почленно числитель на знаменатель:

$$ \frac{x^2 - 3x - 4}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{3x}{x} - \frac{4}{x} = x - 3 - \frac{4}{x} $$

Ответ: $x - 3$$ - \frac{4}{x}$