Номер 1.209, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.209. Вычислите, используя свойства квадратных корней:

a) $\sqrt{50 \cdot 44 \cdot 550};$

б) $3\sqrt{8} \cdot 5\sqrt{26} \cdot 2\sqrt{13}.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{50 \cdot 44 \cdot 550}$, воспользуемся свойствами квадратных корней. Для удобства вычислений разложим числа под корнем на множители.

Заметим, что $550$ можно представить как $11 \cdot 50$. Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{50 \cdot 44 \cdot (11 \cdot 50)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$\sqrt{(50 \cdot 50) \cdot (44 \cdot 11)} = \sqrt{50^2 \cdot 44 \cdot 11}$

Теперь разложим на множители число $44$, которое равно $4 \cdot 11$:

$\sqrt{50^2 \cdot (4 \cdot 11) \cdot 11} = \sqrt{50^2 \cdot 4 \cdot 11^2}$

Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$, получаем:

$\sqrt{50^2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{11^2}$

Так как $\sqrt{x^2} = x$ для $x \ge 0$ и $\sqrt{4} = 2$, выражение упрощается до:

$50 \cdot 2 \cdot 11$

Вычисляем окончательное значение:

$100 \cdot 11 = 1100$

Ответ: 1100

б) Для вычисления значения выражения $3\sqrt{8} \cdot 5\sqrt{26} \cdot 2\sqrt{13}$ воспользуемся свойством произведения корней $c\sqrt{a} \cdot d\sqrt{b} = (c \cdot d)\sqrt{a \cdot b}$.

Сначала перемножим коэффициенты (числа перед корнями) и отдельно перемножим подкоренные выражения:

$(3 \cdot 5 \cdot 2) \cdot \sqrt{8 \cdot 26 \cdot 13}$

Вычисляем произведение коэффициентов:

$3 \cdot 5 \cdot 2 = 30$

Теперь упростим выражение под корнем, разложив числа на множители для поиска полных квадратов:

$8 \cdot 26 \cdot 13 = (4 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 13) \cdot 13$

Сгруппируем множители:

$4 \cdot (2 \cdot 2) \cdot (13 \cdot 13) = 4 \cdot 2^2 \cdot 13^2$

Заменим $4$ на $2^2$:

$2^2 \cdot 2^2 \cdot 13^2$

Таким образом, подкоренное выражение равно $2^2 \cdot 2^2 \cdot 13^2$. Извлечем из него корень:

$\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 13^2} = \sqrt{(2 \cdot 2 \cdot 13)^2} = 2 \cdot 2 \cdot 13 = 52$

Наконец, умножим полученное значение корня на произведение коэффициентов:

$30 \cdot 52 = 1560$

Ответ: 1560