вопрос, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Результат преобразования дробного рационального выражения может быть: а) целым рациональным выражением; б) дробным рациональным выражением; в) рациональной дробью; г) рациональным числом; д) иррациональным числом. Выберите правильные ответы. Приведите примеры.

Дробное рациональное выражение — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами, причём знаменатель содержит переменную. Рассмотрим, во что может преобразоваться такое выражение.

а) целым рациональным выражением
Да, это возможно, если многочлен в числителе делится на многочлен в знаменателе без остатка.
Пример: Преобразуем выражение $\frac{x^2-9}{x+3}$.
Используя формулу разности квадратов в числителе, получаем:
$\frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$
При условии, что $x+3 \neq 0$ (т.е. $x \neq -3$), мы можем сократить дробь:
$(x-3)(x+3) \div (x+3) = x-3$
Результат $x-3$ является целым рациональным выражением (многочленом).
Ответ: Да.

б) дробным рациональным выражением
Да, это наиболее частый случай. Если числитель не делится нацело на знаменатель, или если выражение уже является несократимой дробью, то результатом преобразования (например, сложения или вычитания дробей) останется дробное рациональное выражение.
Пример: Упростим выражение $\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b}$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{a(a+b) - b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
Результат $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$ — это дробное рациональное выражение. Это неправильная рациональная дробь (степень числителя не меньше степени знаменателя), поэтому можно выделить целую часть путем деления многочленов:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a^2-b^2)+2b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} + \frac{2b^2}{a^2-b^2} = 1 + \frac{2b^2}{a^2-b^2}$
Целая часть — 1.
Ответ: Да.

в) рациональной дробью
Да. Термины "дробное рациональное выражение" и "рациональная дробь" по сути означают одно и то же. Любое дробное рациональное выражение является рациональной дробью.
Пример: Выражение $\frac{y+1}{y-4}$ является рациональной дробью. Выделим в ней целую часть:
$\frac{y+1}{y-4} = \frac{(y-4)+5}{y-4} = \frac{y-4}{y-4} + \frac{5}{y-4} = 1 + \frac{5}{y-4}$
Целая часть — 1.
Ответ: Да.

г) рациональным числом
Да, это возможно, если после сокращения дроби в выражении не остается переменных.
Пример: Преобразуем выражение $\frac{5x-10}{2x-4}$.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{5(x-2)}{2(x-2)}$
При условии, что $x-2 \neq 0$ (т.е. $x \neq 2$), мы можем сократить дробь на $(x-2)$:
$\frac{5}{2}$
Результат $\frac{5}{2}$ — это рациональное число. Данная дробь является неправильной. Выделим из нее целую часть:
$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$
Целая часть — 2.
Ответ: Да.

д) иррациональным числом
Нет. Алгебраические преобразования (сложение, вычитание, умножение, деление, сокращение) над рациональными дробями с рациональными коэффициентами всегда приводят к результату в виде рациональной дроби (частными случаями которой являются целое выражение или рациональное число). Результат не может стать иррациональным числом, таким как $\sqrt{2}$ или $\pi$.
Ответ: Нет.