Номер 1.214, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.214. Вычислите: $4^7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} : (-2)^{15}$.

Для вычисления значения выражения $4^7 \cdot (\frac{1}{2})^{-4} : (-2)^{15}$ необходимо последовательно выполнить действия, предварительно упростив его, приведя все степени к одному основанию — 2.

Шаг 1: Упрощение каждого члена выражения.

• Первый множитель: $4^7$. Так как $4 = 2^2$, то $4^7 = (2^2)^7$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
  $4^7 = (2^2)^7 = 2^{2 \cdot 7} = 2^{14}$
• Второй множитель: $(\frac{1}{2})^{-4}$. По свойству степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
  $(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4$
• Делитель: $(-2)^{15}$. Так как показатель степени 15 является нечетным числом, знак "минус" сохраняется:
  $(-2)^{15} = -2^{15}$

Шаг 2: Подстановка упрощенных значений в исходное выражение.

После упрощения выражение принимает вид:

$2^{14} \cdot 2^4 : (-2^{15})$

Шаг 3: Выполнение действий со степенями.

Выполним сначала умножение. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^{14} \cdot 2^4 = 2^{14+4} = 2^{18}$

Теперь выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$2^{18} : (-2^{15}) = -(2^{18} : 2^{15}) = -2^{18-15} = -2^3$

Шаг 4: Вычисление финального результата.

$-2^3 = -(2 \cdot 2 \cdot 2) = -8$

1.214. Ответ: -8