Номер 1.217, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.217. Упростите выражение $ \frac{3ab}{9b^2-a^2} \cdot \left(\frac{1}{3b} - \frac{1}{a}\right) $ и найдите его значение при $ a=8\frac{1}{7}, b=1\frac{2}{7}. $

1. Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$9b^2 - a^2 = (3b)^2 - a^2 = (3b-a)(3b+a)$

2. Затем приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$\frac{1}{3b} - \frac{1}{a} = \frac{a}{3ab} - \frac{3b}{3ab} = \frac{a-3b}{3ab}$

3. Теперь перемножим полученные выражения. Для удобства сокращения вынесем $-1$ за скобки в числителе второй дроби: $a-3b = -(3b-a)$.

$\frac{3ab}{(3b-a)(3b+a)} \cdot \frac{-(3b-a)}{3ab}$

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе, а именно $3ab$ и $(3b-a)$:

$\frac{\cancel{3ab}}{\cancel{(3b-a)}(3b+a)} \cdot \frac{-\cancel{(3b-a)}}{\cancel{3ab}} = \frac{-1}{3b+a}$

Для удобства дальнейших вычислений запишем выражение в виде:

$-\frac{1}{a+3b}$

Ответ: $ -\frac{1}{a+3b} $

1. Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение $ -\frac{1}{a+3b} $. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$a = 8\frac{1}{7} = \frac{8 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{57}{7}$

$b = 1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

2. Вычислим значение знаменателя $a+3b$:

$a + 3b = \frac{57}{7} + 3 \cdot \frac{9}{7} = \frac{57}{7} + \frac{27}{7} = \frac{57+27}{7} = \frac{84}{7}$

3. Упростим полученную дробь:

$\frac{84}{7} = 12$

4. Подставим результат в итоговое выражение:

$-\frac{1}{a+3b} = -\frac{1}{12}$

Полученная дробь является правильной, ее целая часть равна 0.

Ответ: $ -\frac{1}{12} $