Номер 1.221, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.221. Упростите выражение:

а) $ \frac{c+24}{c-5} - \frac{c}{c+5} \cdot \frac{c^2-25}{c} - \frac{6c-1}{c-5}; $

б) $ \frac{2y^2-y-1}{y^2-1} + \frac{y}{y^2-1} : \frac{y}{1-y} - \frac{y-1}{y+1}. $

а) Упростим выражение $\frac{c+24}{c-5} - \frac{c}{c+5} \cdot \frac{c^2-25}{c} - \frac{6c-1}{c-5}$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Сначала выполним умножение дробей. Разложим числитель $c^2-25$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{c}{c+5} \cdot \frac{c^2-25}{c} = \frac{c}{c+5} \cdot \frac{(c-5)(c+5)}{c}$

Теперь сократим общие множители $c$ в числителе и знаменателе, а также $(c+5)$:

$\frac{\cancel{c}}{\cancel{c+5}} \cdot \frac{(c-5)\cancel{(c+5)}}{\cancel{c}} = c-5$

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\frac{c+24}{c-5} - (c-5) - \frac{6c-1}{c-5}$

3. Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем $(c-5)$ и выполним вычитание:

$(\frac{c+24}{c-5} - \frac{6c-1}{c-5}) - (c-5) = \frac{(c+24) - (6c-1)}{c-5} - (c-5)$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{c+24-6c+1}{c-5} - (c-5) = \frac{25-5c}{c-5} - (c-5)$

4. Упростим полученную дробь. В числителе $25-5c$ вынесем общий множитель $-5$ за скобки:

$\frac{-5(c-5)}{c-5} - (c-5)$

Сократив дробь на $(c-5)$, получим:

$-5 - (c-5) = -5 - c + 5 = -c$

Ответ: -c

б) Упростим выражение $\frac{2y^2-y-1}{y^2-1} + \frac{y}{y^2-1} : \frac{y}{1-y} - \frac{y-1}{y+1}$ по действиям.

1. Первым действием выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):

$\frac{y}{y^2-1} : \frac{y}{1-y} = \frac{y}{y^2-1} \cdot \frac{1-y}{y}$

Разложим знаменатель $y^2-1$ по формуле разности квадратов: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$. В выражении $1-y$ вынесем $-1$ за скобки: $1-y = -(y-1)$.

$\frac{y}{(y-1)(y+1)} \cdot \frac{-(y-1)}{y}$

Сократим общие множители $y$ и $(y-1)$:

$\frac{\cancel{y}}{\cancel{(y-1)}(y+1)} \cdot \frac{-\cancel{(y-1)}}{\cancel{y}} = \frac{-1}{y+1}$

2. Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{2y^2-y-1}{y^2-1} + (\frac{-1}{y+1}) - \frac{y-1}{y+1} = \frac{2y^2-y-1}{y^2-1} - \frac{1}{y+1} - \frac{y-1}{y+1}$

3. Упростим первую дробь. Для этого разложим на множители её числитель $2y^2-y-1$. Найдем корни квадратного уравнения $2y^2-y-1=0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1+8=9 = 3^2$

$y_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $y_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$

Тогда $2y^2-y-1 = 2(y-1)(y+\frac{1}{2}) = (y-1)(2y+1)$.

Теперь первая дробь примет вид:

$\frac{(y-1)(2y+1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{2y+1}{y+1}$

4. Подставим упрощенную дробь в наше выражение. Все дроби теперь имеют общий знаменатель $(y+1)$:

$\frac{2y+1}{y+1} - \frac{1}{y+1} - \frac{y-1}{y+1} = \frac{(2y+1) - 1 - (y-1)}{y+1}$

5. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2y+1-1-y+1}{y+1} = \frac{y+1}{y+1} = 1$

Ответ: 1