Номер 1.208, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.208. Выполните действия:

a) $(5\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{16})^5$;

б) $\frac{4^7 \cdot 64}{16^4}$.

а) Чтобы решить это выражение, воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Это позволяет нам объединить основания под одной степенью.

$ \left(5\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{16}\right)^5 = \left(5\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{16}\right)^5 $

Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$ 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} $

Теперь подставим полученную дробь обратно в выражение и выполним умножение внутри скобок:

$ \left(\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{16}\right)^5 $

Сокращаем дроби:

$ \left(\frac{\cancel{16}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{16}}\right)^5 = (1)^5 $

Наконец, возводим 1 в пятую степень:

$ 1^5 = 1 $

Ответ: 1.

б) Для упрощения этого выражения приведем все числа (4, 64, 16) к одному основанию. Наиболее удобным общим основанием является число 4.

Представим 64 и 16 как степени числа 4:
$ 64 = 4^3 $
$ 16 = 4^2 $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \frac{4^7 \cdot 64}{16^4} = \frac{4^7 \cdot 4^3}{(4^2)^4} $

Далее используем свойства степеней. В числителе применим правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а в знаменателе — правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$ \frac{4^{7+3}}{4^{2 \cdot 4}} = \frac{4^{10}}{4^8} $

Теперь применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$ \frac{4^{10}}{4^8} = 4^{10-8} = 4^2 $

Вычисляем полученное значение:

$ 4^2 = 16 $

Ответ: 16.