Номер 1.199, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.199. Выполните действия с рациональными дробями:

$\frac{(2a - 2)^2}{a^5 + a^3} \cdot \frac{a^7 + a^5}{a^2 - 1}$

Чтобы выполнить действия с рациональными дробями, необходимо последовательно упростить выражение. Начнем с разложения на множители числителей и знаменателей обеих дробей.

Исходное выражение:

$$ \frac{(2a - 2)^2}{a^5 + a^3} \cdot \frac{a^7 + a^5}{a^2 - 1} $$

Разложим на множители каждый компонент:

• Числитель первой дроби: $(2a - 2)^2 = (2(a - 1))^2 = 4(a - 1)^2$.
• Знаменатель первой дроби: $a^5 + a^3 = a^3(a^2 + 1)$.
• Числитель второй дроби: $a^7 + a^5 = a^5(a^2 + 1)$.
• Знаменатель второй дроби (по формуле разности квадратов): $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

Теперь подставим полученные множители в исходное выражение и выполним умножение:

$$ \frac{4(a - 1)^2}{a^3(a^2 + 1)} \cdot \frac{a^5(a^2 + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{4(a - 1)^2 \cdot a^5 \cdot (a^2 + 1)}{a^3 \cdot (a^2 + 1) \cdot (a - 1) \cdot (a + 1)} $$

Сокращаем общие множители: $(a^2 + 1)$, $(a-1)$ (в числителе остается $(a-1)$ в первой степени), и $a^3$ (в числителе остается $a^{5-3}=a^2$).

После сокращения получаем:

$$ \frac{4a^2(a - 1)}{a + 1} $$

Раскроем скобки в числителе, чтобы получить многочлен:

$$ \frac{4a^3 - 4a^2}{a + 1} $$

Данная дробь является неправильной, так как степень многочлена в числителе (3) выше степени многочлена в знаменателе (1). В таких случаях можно выделить целую часть путем деления многочлена в числителе на многочлен в знаменателе "уголком".

Выполним деление $(4a^3 - 4a^2)$ на $(a + 1)$:

 4a² - 8a + 8 ________________a+1 | 4a³ - 4a² + 0a + 0 -(4a³ + 4a²) ________________ -8a² + 0a -(-8a² - 8a) ____________ 8a + 0 -(8a + 8) ________ -8

В результате деления получаем частное (целую часть) $4a^2 - 8a + 8$ и остаток $-8$. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$$ 4a^2 - 8a + 8 - \frac{8}{a + 1} $$

Ответ: $ \mathbf{4a^2 - 8a + 8} - \frac{8}{a + 1} $