Номер 1.194, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.194. Выполните деление рациональных дробей:

а) $\frac{m - 2n}{m} : \frac{m - 2n}{n};$

б) $\frac{xy + 3y}{x} : \frac{x^2 + 3x}{y^2};$

В) $\frac{5b + c}{c^5} : \frac{10b^2 + 2bc}{c^3};$

Г) $\frac{3}{a^2 - 6a} : \frac{1}{6a^2 - a^3}.$

а) Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. При делении предполагается, что делитель не равен нулю, то есть $m-2n \neq 0$ и $n \neq 0$. $$ \frac{m-2n}{m} : \frac{m-2n}{n} = \frac{m-2n}{m} \cdot \frac{n}{m-2n} $$ Сократим общий множитель $(m-2n)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{\cancel{m-2n}}{m} \cdot \frac{n}{\cancel{m-2n}} = \frac{n}{m} $$ Ответ: $\frac{n}{m}$

б) Сначала разложим на множители числители дробей, вынеся общие множители за скобки: $$ xy+3y = y(x+3) $$ $$ x^2+3x = x(x+3) $$ Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь. При делении предполагается, что $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x^2+3x \neq 0$. $$ \frac{xy+3y}{x} : \frac{x^2+3x}{y^2} = \frac{y(x+3)}{x} : \frac{x(x+3)}{y^2} = \frac{y(x+3)}{x} \cdot \frac{y^2}{x(x+3)} $$ Объединим дроби и сократим общий множитель $(x+3)$: $$ \frac{y\cancel{(x+3)} \cdot y^2}{x \cdot x\cancel{(x+3)}} = \frac{y \cdot y^2}{x \cdot x} = \frac{y^3}{x^2} $$ Ответ: $\frac{y^3}{x^2}$

в) Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся за скобки общий множитель $2b$: $$ 10b^2+2bc = 2b(5b+c) $$ Выполним деление, умножив первую дробь на дробь, обратную второй. При делении предполагается, что $c \neq 0$ и $10b^2+2bc \neq 0$. $$ \frac{5b+c}{c^5} : \frac{10b^2+2bc}{c^3} = \frac{5b+c}{c^5} \cdot \frac{c^3}{2b(5b+c)} $$ Сократим общие множители $(5b+c)$ и степени переменной $c$: $$ \frac{\cancel{5b+c}}{c^5} \cdot \frac{c^3}{2b(\cancel{5b+c})} = \frac{c^3}{c^5 \cdot 2b} = \frac{1}{c^{5-3} \cdot 2b} = \frac{1}{2bc^2} $$ Ответ: $\frac{1}{2bc^2}$

г) Разложим на множители знаменатели обеих дробей: $$ a^2-6a = a(a-6) $$ $$ 6a^2-a^3 = a^2(6-a) = -a^2(a-6) $$ Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь. При делении предполагается, что знаменатели не равны нулю. $$ \frac{3}{a^2-6a} : \frac{1}{6a^2-a^3} = \frac{3}{a(a-6)} : \frac{1}{-a^2(a-6)} = \frac{3}{a(a-6)} \cdot \frac{-a^2(a-6)}{1} $$ Сократим общие множители $a$ и $(a-6)$: $$ \frac{3 \cdot (-a^2(a-6))}{a(a-6)} = \frac{3 \cdot (-a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(a-6)})}{\cancel{a}(\cancel{a-6})} = 3 \cdot (-a) = -3a $$ Результатом является целое выражение, которое является его же целой частью. Ответ: -3a