Номер 1.192, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.192. Возведите в степень выражение:

а) $(-\frac{8a^3}{b})^2$;

б) $(-\frac{xy}{z^8})^3$;

в) $(-\frac{3c}{a^2b})^4$;

г) $(-\frac{2mn^2}{k^6})^5$.

Для решения этой задачи используются следующие свойства степеней:

• Возведение дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
• Возведение произведения в степень: $(abc)^n = a^n b^n c^n$
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Возведение отрицательного основания в степень: если показатель степени $n$ — четное число, то $(-a)^n = a^n$. Если $n$ — нечетное число, то $(-a)^n = -a^n$.

а) Возведем в квадрат выражение $(-\frac{8a^3}{b})^2$.

Поскольку показатель степени равен 2 (четное число), знак минус при возведении в степень исчезает.

$ (-\frac{8a^3}{b})^2 = (\frac{8a^3}{b})^2 $

Далее, возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби по отдельности:

$ (\frac{8a^3}{b})^2 = \frac{(8a^3)^2}{b^2} = \frac{8^2 \cdot (a^3)^2}{b^2} $

Вычисляем получившиеся степени:

$ \frac{64 \cdot a^{3 \cdot 2}}{b^2} = \frac{64a^6}{b^2} $

Ответ: $ \frac{64a^6}{b^2} $

б) Возведем в куб выражение $(-\frac{xy}{z^8})^3$.

Поскольку показатель степени равен 3 (нечетное число), знак минус сохраняется перед всем выражением.

$ (-\frac{xy}{z^8})^3 = -(\frac{xy}{z^8})^3 $

Возводим в куб числитель и знаменатель:

$ -(\frac{xy}{z^8})^3 = -\frac{(xy)^3}{(z^8)^3} = -\frac{x^3y^3}{z^{8 \cdot 3}} $

Вычисляем степень в знаменателе:

$ -\frac{x^3y^3}{z^{24}} $

Ответ: $ -\frac{x^3y^3}{z^{24}} $

в) Возведем в четвертую степень выражение $(-\frac{3c}{a^2b})^4$.

Поскольку показатель степени равен 4 (четное число), знак минус исчезает.

$ (-\frac{3c}{a^2b})^4 = (\frac{3c}{a^2b})^4 $

Возводим в четвертую степень числитель и знаменатель:

$ (\frac{3c}{a^2b})^4 = \frac{(3c)^4}{(a^2b)^4} = \frac{3^4 \cdot c^4}{(a^2)^4 \cdot b^4} $

Вычисляем степени:

$ \frac{81c^4}{a^{2 \cdot 4} \cdot b^4} = \frac{81c^4}{a^8b^4} $

Ответ: $ \frac{81c^4}{a^8b^4} $

г) Возведем в пятую степень выражение $(-\frac{2mn^2}{k^6})^5$.

Поскольку показатель степени равен 5 (нечетное число), знак минус сохраняется.

$ (-\frac{2mn^2}{k^6})^5 = -(\frac{2mn^2}{k^6})^5 $

Возводим в пятую степень числитель и знаменатель:

$ -(\frac{2mn^2}{k^6})^5 = -\frac{(2mn^2)^5}{(k^6)^5} = -\frac{2^5 \cdot m^5 \cdot (n^2)^5}{(k^6)^5} $

Вычисляем степени:

$ -\frac{32 \cdot m^5 \cdot n^{2 \cdot 5}}{k^{6 \cdot 5}} = -\frac{32m^5n^{10}}{k^{30}} $

Ответ: $ -\frac{32m^5n^{10}}{k^{30}} $