Номер 1.186, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.186*: Выполните умножение $\frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{b^2-3ab+2a^2}{2a^2+ab-b^2}$.

Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей, необходимо разложить на множители их числители и знаменатели, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{b^2 - 3ab + 2a^2}{2a^2 + ab - b^2} $$

Шаг 1: Разложим на множители числитель второй дроби $b^2 - 3ab + 2a^2$.

Рассмотрим этот трехчлен как квадратное уравнение относительно переменной $b$. Его можно записать в виде $b^2 - (3a)b + (2a^2) = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $3a$, а их произведение равно $2a^2$. Этими корнями являются $a$ и $2a$.

Таким образом, числитель раскладывается на множители:

$$ b^2 - 3ab + 2a^2 = (b - a)(b - 2a) $$

Шаг 2: Разложим на множители знаменатель второй дроби $2a^2 + ab - b^2$.

Рассмотрим этот трехчлен как квадратное уравнение относительно переменной $a$: $2a^2 + (b)a - b^2 = 0$. Найдем его корни, используя формулу для корней квадратного уравнения:

Дискриминант $D = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-b^2) = b^2 + 8b^2 = 9b^2 = (3b)^2$.

Корни уравнения:

$$ a_1 = \frac{-b + \sqrt{9b^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-b + 3b}{4} = \frac{2b}{4} = \frac{b}{2} $$

$$ a_2 = \frac{-b - \sqrt{9b^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-b - 3b}{4} = \frac{-4b}{4} = -b $$

Учитывая старший коэффициент 2, разложение на множители будет следующим:

$$ 2a^2 + ab - b^2 = 2(a - \frac{b}{2})(a - (-b)) = (2a - b)(a + b) $$

Шаг 3: Подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение.

$$ \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{(b - a)(b - 2a)}{(2a - b)(a + b)} $$

Перепишем выражение, объединив числители и знаменатели:

$$ \frac{(a+b)(b - a)(b - 2a)}{(a-b)(2a - b)(a + b)} $$

Заметим, что $b - a = -(a - b)$ и $b - 2a = -(2a - b)$. Подставим это в выражение:

$$ \frac{(a+b) \cdot (-(a - b)) \cdot (-(2a - b))}{(a-b)(2a - b)(a + b)} = \frac{(a+b)(a - b)(2a - b)}{(a-b)(2a - b)(a + b)} $$

Сократим общие множители $(a+b)$, $(a-b)$ и $(2a-b)$:

$$ \frac{\cancel{(a+b)}\cancel{(a - b)}\cancel{(2a - b)}}{\cancel{(a-b)}\cancel{(2a - b)}\cancel{(a + b)}} = 1 $$

Ответ: 1