Номер 1.180, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.180. Найдите значение выражения $ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy^2 + y^3} : \frac{y^2 - x^2}{y^3} $

при $x=2\sqrt{5}$, $y=\sqrt{5}$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений с иррациональными числами.

Исходное выражение: $ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy^2 + y^3} : \frac{y^2 - x^2}{y^3} $

Шаг 1: Разложение на множители.

Используем формулы сокращённого умножения и вынесение общего множителя за скобки:

• Числитель первой дроби: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$ (квадрат разности).
• Знаменатель первой дроби: $xy^2 + y^3 = y^2(x + y)$ (вынесение общего множителя).
• Числитель второй дроби: $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$ (разность квадратов).

Шаг 2: Упрощение выражения.

Подставим разложенные части в выражение и заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{(x - y)^2}{y^2(x + y)} \cdot \frac{y^3}{(y - x)(y + x)} $

Заметим, что $(x - y)^2 = (-(y - x))^2 = (y - x)^2$. Это позволяет нам сократить выражение:

$ \frac{(y - x)^2}{y^2(x + y)} \cdot \frac{y^3}{(y - x)(y + x)} = \frac{(y-x) \cdot y}{(x+y) \cdot (x+y)} = \frac{y(y-x)}{(x+y)^2} $

Шаг 3: Подстановка значений и вычисление.

Подставим заданные значения $x = 2\sqrt{5}$ и $y = \sqrt{5}$ в упрощённое выражение:

$ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 2\sqrt{5})}{(2\sqrt{5} + \sqrt{5})^2} $

Вычислим числитель и знаменатель:

$ \frac{\sqrt{5}(-\sqrt{5})}{(3\sqrt{5})^2} = \frac{-5}{3^2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{-5}{9 \cdot 5} = \frac{-5}{45} $

Сократим полученную дробь:

$ -\frac{5}{45} = -\frac{1}{9} $

Ответ: $-\frac{1}{9}$