Номер 1.181, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.181. Представьте в виде степени рациональную дробь:

а) $ \frac{25m^2n^6}{k^8} $;

б) $ \frac{x^3y^6}{(a+y)^9} $;

В) $ \frac{(m-n)^{25}}{m^{10}n^{15}} $;

Г) $ \frac{(c+d)^8}{c^{16}(c-d)^{12}} $.

Чтобы представить рациональную дробь в виде степени, необходимо найти общий показатель степени для числителя и знаменателя. Для этого мы находим наибольший общий делитель (НОД) всех показателей степеней в дроби. Затем мы представляем каждый множитель в числителе и знаменателе как основание, возведенное в степень этого НОД.

а) Дана дробь: $\frac{25m^2n^6}{k^8}$

1. Представим число 25 как степень: $25 = 5^2$.
2. Показатели степеней в дроби: 2 (у числа 5), 2 (у $m$), 6 (у $n$) и 8 (у $k$). Наибольший общий делитель этих чисел (НОД(2, 2, 6, 8)) равен 2. Значит, всю дробь можно представить как выражение во второй степени.
3. Преобразуем числитель: $25m^2n^6 = 5^2 \cdot m^2 \cdot n^{3 \cdot 2} = 5^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = (5mn^3)^2$.
4. Преобразуем знаменатель: $k^8 = k^{4 \cdot 2} = (k^4)^2$.
5. Объединяем числитель и знаменатель под общим показателем степени 2, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
   $\frac{(5mn^3)^2}{(k^4)^2} = (\frac{5mn^3}{k^4})^2$.

Ответ: а) $(\frac{5mn^3}{k^4})^2$

б) Дана дробь: $\frac{x^3y^6}{(a+y)^9}$

1. Показатели степеней в дроби: 3 (у $x$), 6 (у $y$) и 9 (у выражения $(a+y)$). НОД(3, 6, 9) равен 3. Значит, всю дробь можно представить как выражение в третьей степени.
2. Преобразуем числитель: $x^3y^6 = x^3 \cdot y^{2 \cdot 3} = x^3 \cdot (y^2)^3 = (xy^2)^3$.
3. Преобразуем знаменатель: $(a+y)^9 = (a+y)^{3 \cdot 3} = ((a+y)^3)^3$.
4. Объединяем числитель и знаменатель под общим показателем степени 3:
   $\frac{(xy^2)^3}{((a+y)^3)^3} = (\frac{xy^2}{(a+y)^3})^3$.

Ответ: б) $(\frac{xy^2}{(a+y)^3})^3$

в) Дана дробь: $\frac{(m-n)^{25}}{m^{10}n^{15}}$

1. Показатели степеней в дроби: 25 (у выражения $(m-n)$), 10 (у $m$) и 15 (у $n$). НОД(25, 10, 15) равен 5. Значит, всю дробь можно представить как выражение в пятой степени.
2. Преобразуем числитель: $(m-n)^{25} = (m-n)^{5 \cdot 5} = ((m-n)^5)^5$.
3. Преобразуем знаменатель: $m^{10}n^{15} = m^{2 \cdot 5} \cdot n^{3 \cdot 5} = (m^2)^5 \cdot (n^3)^5 = (m^2n^3)^5$.
4. Объединяем числитель и знаменатель под общим показателем степени 5:
   $\frac{((m-n)^5)^5}{(m^2n^3)^5} = (\frac{(m-n)^5}{m^2n^3})^5$.

Ответ: в) $(\frac{(m-n)^5}{m^2n^3})^5$

г) Дана дробь: $\frac{(c+d)^8}{c^{16}(c-d)^{12}}$

1. Показатели степеней в дроби: 8 (у выражения $(c+d)$), 16 (у $c$) и 12 (у выражения $(c-d)$). НОД(8, 16, 12) равен 4. Значит, всю дробь можно представить как выражение в четвертой степени.
2. Преобразуем числитель: $(c+d)^8 = (c+d)^{2 \cdot 4} = ((c+d)^2)^4$.
3. Преобразуем знаменатель: $c^{16}(c-d)^{12} = c^{4 \cdot 4} \cdot (c-d)^{3 \cdot 4} = (c^4)^4 \cdot ((c-d)^3)^4 = (c^4(c-d)^3)^4$.
4. Объединяем числитель и знаменатель под общим показателем степени 4:
   $\frac{((c+d)^2)^4}{(c^4(c-d)^3)^4} = (\frac{(c+d)^2}{c^4(c-d)^3})^4$.

Ответ: г) $(\frac{(c+d)^2}{c^4(c-d)^3})^4$