Номер 1.185, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.185*: Выполните деление и запишите частное в виде несократимой дроби: $\frac{ac+ay-cx-xy}{bx-5x-ab+5a} : \frac{cx+xy-ac-ay}{ab+6b-2a-12}$

Чтобы выполнить деление алгебраических дробей, необходимо сначала разложить их числители и знаменатели на множители. Затем, операция деления заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь, после чего производится сокращение.

Исходное выражение:

$$ \frac{ac+ay-cx-xy}{bx-5x-ab+5a} : \frac{cx+xy-ac-ay}{ab+6b-2a-12} $$

1. Разложение на множители методом группировки:

• Числитель первой дроби:
  $ac+ay-cx-xy = (ac+ay) - (cx+xy) = a(c+y) - x(c+y) = (a-x)(c+y)$
• Знаменатель первой дроби:
  $bx-5x-ab+5a = (bx-5x) - (ab-5a) = x(b-5) - a(b-5) = (x-a)(b-5)$
• Числитель второй дроби:
  $cx+xy-ac-ay = (cx+xy) - (ac+ay) = x(c+y) - a(c+y) = (x-a)(c+y)$
• Знаменатель второй дроби:
  $ab+6b-2a-12 = (ab+6b) - (2a+12) = b(a+6) - 2(a+6) = (b-2)(a+6)$

2. Выполнение деления и сокращение дроби:

Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение:

$$ \frac{(a-x)(c+y)}{(x-a)(b-5)} \cdot \frac{(b-2)(a+6)}{(x-a)(c+y)} $$

Поскольку $a-x = -(x-a)$, выражение можно переписать так:

$$ \frac{-(x-a)(c+y)(b-2)(a+6)}{(x-a)(b-5)(x-a)(c+y)} $$

Сократим общие множители $(x-a)$ и $(c+y)$:

$$ -\frac{(b-2)(a+6)}{(b-5)(x-a)} $$

Внесем знак "минус" в знаменатель, чтобы получить окончательный вид несократимой дроби:

$$ \frac{(b-2)(a+6)}{(b-5)(a-x)} $$

3. Выделение целой части:

Полученная дробь является неправильной, так как степень многочлена в числителе (2) равна степени многочлена в знаменателе (2). Для выделения целой части раскроем скобки.

Числитель: $(b-2)(a+6) = ab+6b-2a-12$.

Знаменатель: $(b-5)(a-x) = ab-bx-5a+5x$.

Выполним деление, представив числитель как сумму знаменателя и остатка:

$$ \frac{ab+6b-2a-12}{ab-bx-5a+5x} = \frac{(ab-bx-5a+5x) + (3a+6b+bx-5x-12)}{ab-bx-5a+5x} $$

$$ = \frac{ab-bx-5a+5x}{ab-bx-5a+5x} + \frac{3a+6b+bx-5x-12}{ab-bx-5a+5x} = 1 + \frac{3a+6b+bx-5x-12}{(b-5)(a-x)} $$

Целая часть равна 1.

Ответ: $1 + \frac{3a+6b+bx-5x-12}{(b-5)(a-x)}$