Номер 1.230, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.230. Докажите, что значение выражения $\left(\frac{1}{\sqrt{a} + a} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}\right) : \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$ не зависит от значений переменной.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате преобразований получится число (константа), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{a} + a} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}\right) : \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$: $a > 0$ и $a \ne 1$.

Упростим выражение по шагам:

1. Выполним вычитание в скобках.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Предварительно вынесем $\sqrt{a}$ за скобки в знаменателе первой дроби: $\sqrt{a} + a = \sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$. Общий знаменатель будет $\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$.

$$ \frac{1}{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} = \frac{1}{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})} - \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})} = \frac{1 - (\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})} = \frac{1 - a}{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})} $$

2. Выполним деление.

Разделим результат первого действия на дробь $\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$, что равносильно умножению на обратную ей дробь:

$$ \frac{1 - a}{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} $$

Разложим числитель $(1 - a)$ по формуле разности квадратов: $1 - a = (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})$.

$$ \frac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} $$

Сократим общие множители $(1 + \sqrt{a})$ и $\sqrt{a}$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{1 - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} $$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе, чтобы завершить сокращение:

$$ \frac{-(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - 1} = -1 $$

Вывод.

В результате упрощения получилось число -1. Так как итоговое значение является константой, оно не зависит от значений переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: -1