Номер 1.237, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.237*. Наиболее рациональным способом найдите, при каком значении переменной a значение выражения

$(\frac{x^2}{a^2} - \frac{x}{a} + 1)(\frac{x^2}{a^2} + \frac{x}{a} + 1) \cdot \frac{a}{x^4 + x^2a^2 - a^4}$ равно $-\frac{1}{125}$.

Для решения задачи и нахождения значения переменной $a$ необходимо упростить данное алгебраическое выражение. Наиболее рациональный способ предполагает, что в результате упрощений переменная $x$ должна сократиться, так как требуется найти конкретное числовое значение для $a$.

1. Упростим произведение первых двух сомножителей в скобках:

$$ \left(\frac{x^2}{a^2} - \frac{x}{a} + 1\right) \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{x}{a} + 1\right) $$

Данное произведение является разностью квадратов вида $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$, где $A = \left(\frac{x^2}{a^2} + 1\right)$ и $B = \frac{x}{a}$.

Применим формулу:

$$ \left(\frac{x^2}{a^2} + 1\right)^2 - \left(\frac{x}{a}\right)^2 = \frac{x^4}{a^4} + 2\frac{x^2}{a^2} + 1 - \frac{x^2}{a^2} = \frac{x^4}{a^4} + \frac{x^2}{a^2} + 1 $$

Приводя к общему знаменателю $a^4$, получаем:

$$ \frac{x^4 + x^2a^2 + a^4}{a^4} $$

2. Теперь подставим полученный результат в исходное уравнение:

$$ \frac{x^4 + x^2a^2 + a^4}{a^4} \cdot \frac{a}{x^4 + x^2a^2 - a^4} = -\frac{1}{125} $$

Чтобы значение выражения не зависело от $x$, множители, содержащие $x$, должны сократиться. В текущем виде числитель $(x^4 + x^2a^2 + a^4)$ и знаменатель $(x^4 + x^2a^2 - a^4)$ не равны. Это свидетельствует о вероятной опечатке в условии задачи. Наиболее логично предположить, что знак в знаменателе последней дроби должен быть «+», чтобы обеспечить сокращение.

3. Решим уравнение, исправив опечатку:

$$ \frac{x^4 + x^2a^2 + a^4}{a^4} \cdot \frac{a}{x^4 + x^2a^2 + a^4} = -\frac{1}{125} $$

Сократим одинаковые выражения $(x^4 + x^2a^2 + a^4)$ в числителе и знаменателе (это выражение не равно нулю при $a \neq 0$):

$$ \frac{a}{a^4} = -\frac{1}{125} $$

$$ \frac{1}{a^3} = -\frac{1}{125} $$

Из этого равенства следует, что:

$$ a^3 = -125 $$

Находим значение $a$, извлекая кубический корень:

$$ a = \sqrt[3]{-125} $$

$$ a = -5 $$

Ответ: -5