Номер 1.238, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.238*. Упростите выражение $\frac{1}{a - \frac{3}{b + \frac{1}{c}}} \cdot \frac{3}{c + \frac{1}{b}} - \frac{3b}{abc + a - 3c}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упростим первый член выражения, который является произведением двух дробей: $ \frac{1}{a - \frac{3}{b + \frac{1}{c}}} \cdot \frac{3}{c + \frac{1}{b}} $.

Для этого сначала преобразуем каждый из множителей, упрощая многоэтажные дроби.

а) Упростим первый множитель $ \frac{1}{a - \frac{3}{b + \frac{1}{c}}} $. Начнем с преобразования его знаменателя.

Внутренняя часть знаменателя: $ b + \frac{1}{c} = \frac{bc + 1}{c} $.

Весь знаменатель: $ a - \frac{3}{b + \frac{1}{c}} = a - \frac{3}{\frac{bc + 1}{c}} = a - \frac{3c}{bc + 1} = \frac{a(bc + 1) - 3c}{bc + 1} = \frac{abc + a - 3c}{bc + 1} $.

Таким образом, первый множитель равен:

$ \frac{1}{\frac{abc + a - 3c}{bc + 1}} = \frac{bc + 1}{abc + a - 3c} $.

б) Упростим второй множитель $ \frac{3}{c + \frac{1}{b}} $.

Знаменатель: $ c + \frac{1}{b} = \frac{bc + 1}{b} $.

Таким образом, второй множитель равен:

$ \frac{3}{\frac{bc + 1}{b}} = \frac{3b}{bc + 1} $.

в) Теперь перемножим упрощенные множители:

$ \frac{bc + 1}{abc + a - 3c} \cdot \frac{3b}{bc + 1} $

Сокращаем общий множитель $ (bc + 1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{bc + 1}}{abc + a - 3c} \cdot \frac{3b}{\cancel{bc + 1}} = \frac{3b}{abc + a - 3c} $.

2. Выполним вычитание.

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание, подставив результат, полученный на шаге 1.

$ \frac{3b}{abc + a - 3c} - \frac{3b}{abc + a - 3c} $

Разность двух одинаковых выражений равна нулю.

$ \frac{3b}{abc + a - 3c} - \frac{3b}{abc + a - 3c} = 0 $

Ответ: 0