Номер 1.240, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.240* Разложите числитель дроби на множители и сократите дробь $$ \frac{x + \sqrt{x} + y - \sqrt{y} - 2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} $$.

Для решения задачи выполним последовательно два действия, указанных в условии.

Разложите числитель дроби на множители

Исходный числитель: $x + \sqrt{x} + y - \sqrt{y} - 2\sqrt{xy}$.

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Заметим, что слагаемые $x$, $y$ и $-2\sqrt{xy}$ образуют полный квадрат разности. Формула полного квадрата: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Перегруппируем члены в числителе:

$$ (x - 2\sqrt{xy} + y) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) $$

Выражение в первых скобках $x - 2\sqrt{xy} + y$ равно $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$. Подставим это в наше выражение:

$$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) $$

Теперь можно вынести общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ за скобки:

$$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1) $$

Ответ: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1)$

Сократите дробь

Теперь подставим разложенный на множители числитель в исходную дробь:

$$ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} $$

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ в числителе и знаменателе. Это возможно при выполнении области допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $\sqrt{x} - \sqrt{y} \neq 0$, то есть $x \neq y$.

После сокращения получаем следующее выражение:

$$ \sqrt{x} - \sqrt{y} + 1 $$

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y} + 1$