Номер 1.245, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.245. Докажите тождество

$(\frac{36}{6-a} - a - 6) : \frac{a^2}{a^2 - 12a + 36} = 6 - a.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части. Будем выполнять преобразования по действиям.

1) Упростим выражение в скобках: $ \frac{36}{6-a} - a - 6 $

Для этого приведем все его члены к общему знаменателю $6-a$:

$ \frac{36}{6-a} - a - 6 = \frac{36}{6-a} - (a+6) = \frac{36}{6-a} - \frac{(a+6)(6-a)}{6-a} $

Раскроем скобки в числителе второй дроби, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$. В данном случае $(6+a)(6-a) = 6^2 - a^2 = 36 - a^2$.

Подставим полученное выражение в числитель:

$ \frac{36 - (36 - a^2)}{6-a} = \frac{36 - 36 + a^2}{6-a} = \frac{a^2}{6-a} $

2) Упростим делитель: $ \frac{a^2}{a^2 - 12a + 36} $

Знаменатель $ a^2 - 12a + 36 $ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$ a^2 - 12a + 36 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a-6)^2 $

Следовательно, делитель равен: $ \frac{a^2}{(a-6)^2} $

3) Выполним деление результатов:

Теперь разделим результат первого действия на результат второго. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{a^2}{6-a} : \frac{a^2}{(a-6)^2} = \frac{a^2}{6-a} \cdot \frac{(a-6)^2}{a^2} $

Сократим общий множитель $a^2$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$ \frac{(a-6)^2}{6-a} $

Заметим, что выражения $a-6$ и $6-a$ противоположны, но их квадраты равны: $(a-6)^2 = (-(6-a))^2 = (6-a)^2$. Подставим это в нашу дробь:

$ \frac{(6-a)^2}{6-a} $

Сократим дробь на общий множитель $(6-a)$ (при условии, что $a \neq 6$):

$ 6-a $

Вывод:

В результате преобразований левая часть исходного выражения равна $6-a$, что в точности совпадает с правой частью тождества.

$ 6-a = 6-a $

Тождество доказано.