Номер 1.250, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.250. Примените свойства степени с целым показателем и выполните действия:

а) $(a^{-2} - b^{-2}) \cdot \left(\frac{b-a}{ab}\right)^{-1};$

б) $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}} : \left(\frac{1}{y^{-1}} - \frac{1}{x^{-1}}\right)^{-1}.$

a) $(a^{-2} - b^{-2}) \cdot \left(\frac{b-a}{ab}\right)^{-1}$

Для решения этого примера применим свойства степени с целым показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $(\frac{x}{y})^{-1} = \frac{y}{x}$.

1. Преобразуем первую скобку, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1 \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} - \frac{1 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}$

2. Преобразуем вторую скобку, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-1} = \frac{y}{x}$:

$\left(\frac{b-a}{ab}\right)^{-1} = \frac{ab}{b-a}$

3. Выполним умножение преобразованных выражений:

$\frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{b-a}$

Сократим общие множители $(b-a)$ в числителе и знаменателе, а также $ab$:

$\frac{\cancel{(b-a)}(b+a)}{ab \cdot \cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{b-a}} = \frac{b+a}{ab}$

Результат также можно записать в виде $\frac{a+b}{ab}$.

Ответ: $\frac{a+b}{ab}$

б) $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}} : \left(\frac{1}{y^{-1}} - \frac{1}{x^{-1}}\right)^{-1}$

Для решения этого примера также применим свойства степени с целым показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

1. Преобразуем делимое (первую дробь). Сначала преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}$

Знаменатель (используем разность квадратов): $x^{-2} - y^{-2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2} = \frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}$

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}} = \frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}} = \frac{y+x}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(y-x)(y+x)}$

Сократим общие множители $(y+x)$ и $xy$:

$\frac{\cancel{(y+x)}}{\cancel{xy}} \cdot \frac{xy \cdot \cancel{xy}}{(y-x)\cancel{(y+x)}} = \frac{xy}{y-x}$

2. Преобразуем делитель (второе выражение).

Сначала упростим выражение внутри скобок, используя свойство $\frac{1}{z^{-1}} = z$:

$\frac{1}{y^{-1}} - \frac{1}{x^{-1}} = y - x$

Теперь возведем в степень -1:

$(y - x)^{-1} = \frac{1}{y-x}$

3. Выполним деление результата шага 1 на результат шага 2:

$\frac{xy}{y-x} : \frac{1}{y-x}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{xy}{y-x} \cdot \frac{y-x}{1} = \frac{xy \cdot \cancel{(y-x)}}{\cancel{(y-x)}} = xy$

Ответ: $xy$