Номер 1.256, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.256. Докажите тождество

$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) : \frac{a^2+ab}{a-b} = \frac{1}{a}.$

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть выражения и покажем, что она равна правой части.

Выражение в левой части: $ \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right) : \frac{a^2+ab}{a-b} $

Действия будем выполнять по шагам.

1. Упрощение выражения в скобках.

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $ и $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $ равен произведению их знаменателей: $ (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $. По формуле разности квадратов это равно $ (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b $.

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $$

2. Выполнение деления.

Теперь разделим результат первого действия на дробь $ \frac{a^2+ab}{a-b} $. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$$ \frac{a+b}{a-b} : \frac{a^2+ab}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2+ab} $$

Разложим числитель второй дроби на множители: $ a^2+ab = a(a+b) $.

$$ \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a(a+b)} $$

Сократим одинаковые множители $ (a+b) $ и $ (a-b) $ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a-b)}} \cdot \frac{\cancel{(a-b)}}{a\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{a} $$

3. Заключение.

В результате преобразования левой части тождества мы получили $ \frac{1}{a} $, что равно правой части тождества.

$$ \frac{1}{a} = \frac{1}{a} $$

Тождество доказано (при условии, что $a > 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$).

Ответ: После упрощения левая часть выражения равна $ \frac{1}{a} $, что и требовалось доказать.