Номер 1.260, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.260. Решите систему неравенств

$\begin{cases} \frac{x+2}{3} - \frac{x+2}{2} \le \frac{x+2}{6}, \\ \frac{x}{2} + x \ge \frac{3x}{4} - \frac{x-7}{8} \end{cases}$

Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства:

$\frac{x+2}{3} - \frac{x+2}{2} \le \frac{x+2}{6}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot \frac{x+2}{3} - 6 \cdot \frac{x+2}{2} \le 6 \cdot \frac{x+2}{6}$

$2(x+2) - 3(x+2) \le x+2$

Раскроем скобки:

$2x + 4 - 3x - 6 \le x + 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x - 2 \le x + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$-2 - 2 \le x + x$

$-4 \le 2x$

Разделим обе части на 2:

$-2 \le x$

Ответ: $x \ge -2$.

Решение второго неравенства:

$\frac{x}{2} + x \ge \frac{3x}{4} - \frac{x-7}{8}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \frac{x}{2} + 8 \cdot x \ge 8 \cdot \frac{3x}{4} - 8 \cdot \frac{x-7}{8}$

$4x + 8x \ge 2 \cdot 3x - (x-7)$

$12x \ge 6x - x + 7$

$12x \ge 5x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$12x - 5x \ge 7$

$7x \ge 7$

Разделим обе части на 7:

$x \ge 1$

Ответ: $x \ge 1$.

Решение системы неравенств:

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge -2$ и $x \ge 1$.

На числовой оси первое решение представляет собой луч, начинающийся в точке -2 и идущий вправо. Второе решение — луч, начинающийся в точке 1 и идущий вправо.

Пересечением (общей частью) этих двух лучей является промежуток, который удовлетворяет обоим условиям одновременно, то есть $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.