Номер 1.253, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.253. Выполните сложение $\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} + \frac{4a-b}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}$, предварительно сократив дроби.

Для выполнения сложения необходимо предварительно сократить каждую из дробей, используя формулы сокращенного умножения.

1. Упрощение первой дроби

Числитель первой дроби $a - 2\sqrt{ab} + b$ является полным квадратом разности. Мы можем представить его как $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$, поскольку $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

$$ \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} $$

Сокращаем дробь на $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$$ \sqrt{a} - \sqrt{b} $$

2. Упрощение второй дроби

Числитель второй дроби $4a - b$ является разностью квадратов. Мы можем представить его как $(2\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2$, что раскладывается на множители $(2\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

$$ \frac{4a - b}{2\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(2\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{2\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(2\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} + \sqrt{b})}{2\sqrt{a} - \sqrt{b}} $$

Сокращаем дробь на $(2\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$$ 2\sqrt{a} + \sqrt{b} $$

3. Выполнение сложения

Теперь сложим полученные упрощенные выражения:

$$ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) + (2\sqrt{a} + \sqrt{b}) $$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$$ \sqrt{a} - \sqrt{b} + 2\sqrt{a} + \sqrt{b} = (\sqrt{a} + 2\sqrt{a}) + (-\sqrt{b} + \sqrt{b}) = 3\sqrt{a} $$

Ответ: $3\sqrt{a}$