Номер 1.252, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.252. Сократите дробь, используя алгоритм:

а) $\frac{b-5\sqrt{b}}{2\sqrt{b}}$;

б) $\frac{c+5\sqrt{c}}{c-25}$;

в) $\frac{a+8\sqrt{a}+16}{a+4\sqrt{a}}$;

г) $\frac{x+2\sqrt{7x}+7}{x-7}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{b - 5\sqrt{b}}{2\sqrt{b}}$, представим переменную $b$ в числителе как $(\sqrt{b})^2$ и вынесем общий множитель за скобки. Область допустимых значений: $b > 0$.
$b - 5\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2 - 5\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b} - 5)$
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 5)}{2\sqrt{b}}$
Сократим общий множитель $\sqrt{b}$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sqrt{b} - 5}{2}$
Это выражение можно также записать как $\frac{1}{2}\sqrt{b} - \frac{5}{2}$. В данном случае выделить целую числовую часть нельзя.
Ответ: $\frac{\sqrt{b} - 5}{2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{c + 5\sqrt{c}}{c - 25}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Область допустимых значений: $c \geq 0$, $c \neq 25$.
В числителе вынесем общий множитель $\sqrt{c}$:
$c + 5\sqrt{c} = (\sqrt{c})^2 + 5\sqrt{c} = \sqrt{c}(\sqrt{c} + 5)$
В знаменателе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=\sqrt{c}$ и $y=5$:
$c - 25 = (\sqrt{c})^2 - 5^2 = (\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5)$
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} + 5)}{(\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{c} + 5)$:
$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} - 5}$
Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть, представив числитель как $(\sqrt{c} - 5) + 5$:
$\frac{(\sqrt{c} - 5) + 5}{\sqrt{c} - 5} = \frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c} - 5} + \frac{5}{\sqrt{c} - 5} = 1 + \frac{5}{\sqrt{c} - 5}$
Ответ: $1 + \frac{5}{\sqrt{c} - 5}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a + 8\sqrt{a} + 16}{a + 4\sqrt{a}}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Область допустимых значений: $a > 0$.
Числитель представляет собой полный квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=4$:
$a + 8\sqrt{a} + 16 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 4 + 4^2 = (\sqrt{a} + 4)^2$
В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{a}$:
$a + 4\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 4)$
Подставим выражения в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} + 4)^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 4)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + 4)$:
$\frac{\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}}$
Это неправильная дробь. Выделим целую часть, разделив почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} + \frac{4}{\sqrt{a}} = 1 + \frac{4}{\sqrt{a}}$
Ответ: $1 + \frac{4}{\sqrt{a}}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{x + 2\sqrt{7x} + 7}{x - 7}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Область допустимых значений: $x \geq 0$, $x \neq 7$.
Числитель является полным квадратом суммы $(u+v)^2 = u^2+2uv+v^2$, где $u=\sqrt{x}$ и $v=\sqrt{7}$:
$x + 2\sqrt{7x} + 7 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{7})^2$
Знаменатель является разностью квадратов $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, где $u=\sqrt{x}$ и $v=\sqrt{7}$:
$x - 7 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{7})(\sqrt{x} + \sqrt{7})$
Подставим выражения в дробь:
$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{x} - \sqrt{7})(\sqrt{x} + \sqrt{7})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{7})$:
$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}}$
Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть, представив числитель как $(\sqrt{x} - \sqrt{7}) + 2\sqrt{7}$:
$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{7}) + 2\sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}} + \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}} = 1 + \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}}$
Ответ: $1 + \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}}$