Номер 1.254, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.254. Выполните действия, используя алгоритм сложения дробей:

а) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}-\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}+\sqrt{n}};

б) $\frac{6\sqrt{a}}{a-b} - \frac{3}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$

а) Для сложения дробей $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}-\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}$ необходимо привести их к общему знаменателю.

1. Находим общий знаменатель. Знаменатели дробей — это $(\sqrt{n}-\sqrt{m})$ и $(\sqrt{m}+\sqrt{n})$. Общим знаменателем будет их произведение: $(\sqrt{n}-\sqrt{m})(\sqrt{m}+\sqrt{n})$.
Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$, упрощаем знаменатель:
$(\sqrt{n}-\sqrt{m})(\sqrt{n}+\sqrt{m}) = (\sqrt{n})^2 - (\sqrt{m})^2 = n-m$.

2. Определяем дополнительные множители для каждой дроби.

• Для первой дроби $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}$ дополнительный множитель равен $(\sqrt{n}+\sqrt{m})$.
• Для второй дроби $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}$ дополнительный множитель равен $(\sqrt{n}-\sqrt{m})$.

3. Умножаем числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и складываем полученные выражения:
$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{n}+\sqrt{m})}{n-m} + \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m})}{n-m} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{n}+\sqrt{m}) + \sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m})}{n-m}$

4. Раскрываем скобки в числителе и упрощаем его:
$\sqrt{m}\cdot\sqrt{n} + \sqrt{m}\cdot\sqrt{m} + \sqrt{n}\cdot\sqrt{n} - \sqrt{n}\cdot\sqrt{m} = \sqrt{mn} + m + n - \sqrt{mn}$
Слагаемые $\sqrt{mn}$ и $-\sqrt{mn}$ взаимно уничтожаются. В числителе остается $m+n$.

5. Записываем итоговую дробь:
$\frac{m+n}{n-m}$

Ответ: $\frac{n+m}{n-m}$

б) Для вычитания дробей $\frac{6\sqrt{a}}{a-b} - \frac{3}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ приведем их к общему знаменателю.

1. Анализируем знаменатели. Знаменатель первой дроби, $a-b$, можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a-b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.

2. Знаменатель второй дроби — $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Таким образом, наименьшим общим знаменателем является выражение $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.

3. Определяем дополнительные множители:

• Для первой дроби дополнительный множитель равен 1.
• Для второй дроби $\frac{3}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ дополнительный множитель равен $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.

4. Выполняем вычитание, приводя дроби к общему знаменателю:
$\frac{6\sqrt{a}}{a-b} - \frac{3(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{6\sqrt{a} - 3(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$

5. Упрощаем числитель. Раскрываем скобки:
$6\sqrt{a} - 3\sqrt{a} - 3\sqrt{b} = 3\sqrt{a} - 3\sqrt{b}$
Выносим общий множитель 3 за скобки: $3(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

6. Получаем дробь $\frac{3(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$. Подставляем в знаменатель его разложение на множители и сокращаем:
$\frac{3(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$