Номер 1.251, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.251. Представьте выражение в виде рациональной дроби

$(\frac{2xy}{4x^2 - 9y^2} + \frac{y}{3y - 2x}) \cdot (1 - \frac{2x - 3y}{2x + 3y})^{-1}$

Для того чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, необходимо выполнить действия по порядку, сначала в скобках, а затем умножение.

Исходное выражение: $ \left( \frac{2xy}{4x^2 - 9y^2} + \frac{y}{3y - 2x} \right) \cdot \left( 1 - \frac{2x - 3y}{2x + 3y} \right)^{-1} $

1. Преобразование первого сомножителя $ \left( \frac{2xy}{4x^2 - 9y^2} + \frac{y}{3y - 2x} \right) $

Разложим знаменатель $ 4x^2 - 9y^2 $ на множители по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y) $

В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобку, чтобы он стал похож на часть первого знаменателя: $ 3y - 2x = -(2x - 3y) $.

Теперь выражение в первой скобке можно переписать так:

$ \frac{2xy}{(2x - 3y)(2x + 3y)} + \frac{y}{-(2x - 3y)} = \frac{2xy}{(2x - 3y)(2x + 3y)} - \frac{y}{2x - 3y} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (2x - 3y)(2x + 3y) $:

$ \frac{2xy - y(2x + 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)} = \frac{2xy - 2xy - 3y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} = \frac{-3y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} $

2. Преобразование второго сомножителя $ \left( 1 - \frac{2x - 3y}{2x + 3y} \right)^{-1} $

Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем 1 к дроби со знаменателем $ (2x + 3y) $:

$ 1 - \frac{2x - 3y}{2x + 3y} = \frac{2x + 3y}{2x + 3y} - \frac{2x - 3y}{2x + 3y} = \frac{(2x + 3y) - (2x - 3y)}{2x + 3y} = \frac{2x + 3y - 2x + 3y}{2x + 3y} = \frac{6y}{2x + 3y} $

Теперь возведем полученную дробь в степень -1. Это эквивалентно тому, чтобы "перевернуть" дробь:

$ \left( \frac{6y}{2x + 3y} \right)^{-1} = \frac{2x + 3y}{6y} $

3. Умножение результатов

Перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$ \frac{-3y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} \cdot \frac{2x + 3y}{6y} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $ (2x + 3y) $ сокращается. Также сократим числовые коэффициенты $ -3 $ и $ 6 $ (останется $ -1 $ в числителе и $ 2 $ в знаменателе) и переменные $ y^2 $ и $ y $ (останется $ y $ в числителе):

$ \frac{-3y^2 \cdot (2x+3y)}{(2x-3y)(2x+3y) \cdot 6y} = \frac{-3y^2}{(2x-3y) \cdot 6y} = \frac{-y}{2(2x-3y)} $

Итоговую дробь можно записать как $ \frac{-y}{4x - 6y} $ или $ \frac{y}{6y - 4x} $.

Ответ: $ \frac{-y}{2(2x-3y)} $