Номер 1.246, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.246. Определите порядок действий и упростите рациональное выражение

$\frac{5x+21}{9-x^2} + \frac{5}{x^2-9} : \frac{5}{3-x} - \frac{x+3}{3-x}$

Для упрощения данного рационального выражения определим порядок действий и выполним их последовательно. Сначала выполняется деление, а затем сложение и вычитание слева направо.

Исходное выражение: $ \frac{5x+21}{9-x^2} + \frac{5}{x^2-9} : \frac{5}{3-x} - \frac{x+3}{3-x} $

Предварительно разложим знаменатели на множители для удобства:

• $9-x^2 = (3-x)(3+x)$
• $x^2-9 = (x-3)(x+3) = -(3-x)(x+3)$

Выполним деление дробей. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{5}{x^2-9} : \frac{5}{3-x} = \frac{5}{x^2-9} \cdot \frac{3-x}{5} $

Сокращаем на 5 и раскладываем знаменатель $x^2-9$ на множители по формуле разности квадратов:

$ \frac{3-x}{(x-3)(x+3)} $

Так как $3-x = -(x-3)$, мы можем сократить дробь (при условии, что $x \neq 3$):

$ \frac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)} = -\frac{1}{x+3} $

Ответ: $-\frac{1}{x+3}$

К первой дроби исходного выражения прибавим результат, полученный в первом действии.

$ \frac{5x+21}{9-x^2} + \left(-\frac{1}{x+3}\right) = \frac{5x+21}{(3-x)(3+x)} - \frac{1}{x+3} $

Приводим дроби к общему знаменателю $(3-x)(3+x)$, домножив числитель и знаменатель второй дроби на $(3-x)$:

$ \frac{5x+21}{(3-x)(3+x)} - \frac{1 \cdot (3-x)}{(x+3)(3-x)} = \frac{5x+21 - (3-x)}{(3-x)(3+x)} $

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$ \frac{5x+21 - 3 + x}{(3-x)(3+x)} = \frac{6x+18}{(3-x)(3+x)} $

Выносим в числителе общий множитель 6 за скобки и сокращаем дробь на $(x+3)$ (при условии, что $x \neq -3$):

$ \frac{6(x+3)}{(3-x)(x+3)} = \frac{6}{3-x} $

Ответ: $\frac{6}{3-x}$

Из результата второго действия вычтем последнюю дробь из исходного выражения.

$ \frac{6}{3-x} - \frac{x+3}{3-x} $

Так как знаменатели у дробей одинаковые, вычитаем их числители:

$ \frac{6 - (x+3)}{3-x} = \frac{6 - x - 3}{3-x} = \frac{3-x}{3-x} $

Сокращаем дробь (при условии, что $3-x \neq 0$):

$1$

Ответ: 1